题意大概是给定一个长度为$n$的排列$p$，求有多少长度为$n$的排列满足冒泡排序的交换次数为$\frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n}|i - p_{i}|$。
可以发现，该式子是冒泡排序复杂度的下界，任意一个数想要回到规定的位置至少要被交换$|i - p_{i}|$次，即在排序过程中不浪费任何一次交换，每一个数都只能向它归回原位的方向走。
稍加思索，可以得出一个结论：
- 任何一个最长下降子序列长度超过2的排列一定是不合法的。
- 任何一个最长下降子序列不超过2的排列一定合法。
考虑第一句话的正确性：
试想处于中间的那个数，左边存在比它大的数，右边存在比它小的数，那么该数一定会被向左交换一次，也一定会被向右交换一次，然后这两次交换是对该数无意义的，因为它向两个方向走了，导致位置没有改变。所以这两次的交换被浪费，故一定不合法。
考虑第二句话的正确性：
试想一个逆序对，处于右边小的数一定会向左走，如果要使它不合法，必定要令它向右至少走一步，那就意味着右边存在更小的数，与原条件矛盾，对于左边的数同理。