Tyvj2018 小猫爬山 - 搜索 - 剪枝/迭代加深

学习OI很久以后才发觉自己对于搜索的认识有极大的偏差。。。
因为没有好好寻找一些算法资料。。。在学习时把枚举和搜索混为一谈，而且一直认为搜索就是全排列，导致我数次打出指数复杂度的暴力-_-
整理资料后才发现，指数型枚举有组合与排列，而搜索和枚举其实有很大的差别，枚举只是属于搜索的一丢丢最暴力的部分而已

枚举，直接一个个找，一般在枚举的方式上优化，使得枚举更加方便，也更容易找到答案（比如说状态压缩，直接枚举数字，比直接枚举各种状态方便了不少）
搜索的内核和DP大体上是一致的。首先根据题意设置出状态，然后寻找到阶段，思考在某一个阶段能够发展出多少分支，分支又会怎样改变状态，遍历所有分支找到最优解。有时需要开一些数据结构记录状态

对于这道题，状态是小猫坐缆车的具体方案，阶段是目前安排了几只小猫（我们需要一步步确定最终解，而不是一次把解求出来，所以要这样划分阶段），分支有两种，小猫可以选择一个还坐的下的缆车，或者再租一辆缆车。用一个数组记录“具体方案”：设cab[i]表示第i辆缆车已经承受的重量。

但是这样很慢。。。我们至多租n辆缆车，又有n只小猫要安排，复杂度在 $n^2$ 左右。
考虑剪枝优化。可以知道的是如果数据不是很奇葩的话，最后缆车数量应该不会很多，至少不会有n个那么多。。。所以大部分的搜索都浪费了时间。加一个剪枝，当目前租的缆车数量已经大于等于已知缆车数量最小值，那么直接返回。if(tot >= ans) return;

还有个优化，把小猫按重量降序排序。先搜索重的小猫，可以有效减少分支数量。根据搜索树的结构特点，靠上层的分支如果有很多，必然导致最后整棵树变得十分大。

分支数可大致看作复杂度的指数，根据指数爆炸的原则，底数大指数小，整棵树规模才会更小一点

但是这不是唯一正解。。。还可以迭代加深来做。思路和二分答案是一致的，即枚举一个值为答案，检验可行性
枚举租赁缆车上限值，检查在不超过此值时是否存在一个方案可以安排下所有小猫，不存在便继续租缆车。并且迭代层数的下界是确定的，即sum/w，sum指总重量，无论如何，租的缆车数也不会小于这个值。

事实上迭代加深是慢一点的。。。毕竟必然要进行多次重复搜索，上面那种做法不加排序，只剪枝也可以过，但迭代加深却必须加上排序。当然这也不是迭代加深的主要舞台，毕竟迭代加深最适合那种没有确定最终阶段的搜索。

一般搜索：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 30;
int n,w,c[MAXN],ans = 1<<30,cab[MAXN],vis[MAXN],tot=1;
void dfs(int x, int sum) {
    if(tot >= ans) return;
    if(x == n+1) {
        ans = min(ans, tot);
        return;
    }
    for(int i=1; i<=tot; i++) {
        if(cab[i] + c[x] <= w) {
            cab[i] += c[x];
            dfs(x+1, tot);
            cab[i] -= c[x];
        }
    }
    cab[++tot] = c[x];
    dfs(x+1, tot);
    tot--;
}
bool cmp(int a, int b) {
    return a > b;
}
int main() {
    cin >> n >> w;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        cin >> c[i];
    }
    sort(c+1,c+n+1,cmp);
    dfs(1, 1);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

迭代加深

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 30;
int n,w,c[MAXN],ans = 1<<30,cab[MAXN],vis[MAXN],tot=1,flg,sum;
void dfs(int x, int deep) {
    if(x == n+1) {
        flg = true;
        return;
    }
    for(int i=1; i<=deep; i++) {
        if(cab[i] + c[x] <= w) {
            cab[i] += c[x];
            dfs(x+1,deep);
            if(flg) {
                return;
            }
            cab[i] -= c[x];
        }
    }
}
bool cmp(int a, int b) {
    return a > b;
}
int main() {
    scanf("%d %d", &n, &w);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d", &c[i]);
        sum += c[i];
    }
    sort(c+1,c+n+1,cmp);
    for(int i=sum/w; i<=n; i++) {
        dfs(1,i);
        if(flg) {
            printf("%d\n", i);
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}