JZOJ 3509. 【NOIP2013模拟11.5B组】倒霉的小C

3509. 【NOIP2013模拟11.5B组】倒霉的小C(beats) 
(File IO): input:beats.in output:beats.out

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Description

小G最近迷上了岛国动漫《Angel Beats》，她为了画出一个更霸气的Angel Beats的logo，想了如下办法：

从（0，0）开始，画到（n，1），再从（n，1），画到（2*n，-1），再到（3*n，2），再到（4*n，-2），依此类推，即每次画出一个（n，(-1)^(i+1)*i）的向量，一共画出n个这样的向量。现在小G想让小C求出这个图形穿过了多少格点（坐标都是整数）。

由于小C想要认真地听他的数学课并且想自己在接力赛中因RP暴光而发生接力棒传错这类的糗事，所以这个问题就交给你啦。小G说，如果连你也解决不好，就把你的RP也吸光。

 

Input

输入文件中仅一行为一个整数n。

Output

输出文件中仅一行为一个数，表示穿过的格点数。

 

Sample Input

4

Sample Output

9

 

做法：

通过简单观察可以发现，每次画出向量（n，i）经过的格点个数为gcd(i，n)，那么答案就等于Ans=1+

 

直接求解的时间复杂度是O(n)的。

那么Ans=1+

其中d为n的约数。fai(n)表示1～n中与n互质的数的个数。通过这样的变形，我们就可以得到时间复杂度为O(C*sqrt(n))的算法，C为n的约数个数。

代码如下：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <string>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cmath>
 6 #define LL long long
 7 using namespace std;
 8 LL n, ans, k;
 9 
10 LL phi(LL x)
11 {
12     LL k = x;
13     for (int i = 2; x > 1; i++)
14         if (x % i == 0)
15         {
16             k -= k / i;
17             while (x % i == 0)    x /= i;    
18         }
19     return k;
20 }
21 
22 int main()
23 {
24     freopen("beats.in", "r", stdin);
25     freopen("beats.out", "w", stdout);
26     cin >> n;
27     int p = sqrt(n);
28     for (int i = 1; i <= p; i++)
29         if (n % i == 0)
30         {
31             k = i;
32             ans += k * phi(n / k);
33             if (k != n / k)    k = n / i, ans += k * phi(n / k);
34         }
35     cout << ans + 1;
36     return 0;
37 }

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