[jzoj 3509]【NOIP2013模拟11.5B组】倒霉的小C {欧拉函数+数论+欧几里得算法}

题目

Description
小G最近迷上了岛国动漫《Angel Beats》，她为了画出一个更霸气的Angel Beats的logo，想了如下办法：
从（0，0）开始，画到（n，1），再从（n，1），画到（2*n，-1），再到（3*n，2），再到（4*n，-2），依此类推，即每次画出一个（n，(-1)^(i+1)*i）的向量，一共画出n个这样的向量。现在小G想让小C求出这个图形穿过了多少格点（坐标都是整数）。
由于小C想要认真地听他的数学课并且想自己在接力赛中因RP暴光而发生接力棒传错这类的糗事，所以这个问题就交给你啦。小G说，如果连你也解决不好，就把你的RP也吸光。
Input
输入文件中仅一行为一个整数n。
Output
输出文件中仅一行为一个数，表示穿过的格点数。

题目大意

求$\sum_{i=1}^{n}gcd(i,n)$

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解题思路

通过简单观察可以发现，每次画出向量（n，i）经过的格点个数为gcd(i，n)，那么答案就等于

$$Ans=1+\sum_{i=1}^{n}gcd(i,n)$$ 。直接求解的时间复杂度是O(n)的。那么 $$Ans=1+\sum_{d|n}d*\varphi (n/d)$$ ，其中d为n的约数。fai(n)表示1～n中与n互质的数的个数。通过这样的变形，我们就可以得到时间复杂度为O(C*sqrt(n))的算法，C为n的约数个数。

以下转载至(https://blog.csdn.net/OIerLH/article/details/59134485)：

设有一个n乘m的矩阵，设左上角为(0,0)，若对角线穿过格点p(x,y),则以a(x,0),b(0,0),p(x,y)为顶点的三角形与a1(0,0),b1(n,0),c1(n,m)构成的三角形相似，因此n/x=m/y，而多个这种三角形沿着对角线分布，就会有n/x个，总个数则为最小x的贡献，而要使x最小，n/x必须最大且满足n/x能整除m，所以答案即为gcd(n,m)
相信最令人懵逼的不是O(n)方法，而是后面的那条奇奇怪怪的等价公式，即ans=1+Σgcd(i,n)等价于ans=1+Σ(d|n)d*φ(n/d),以下给出证明：
其实公式2是表示gcd(i,n)为d的i的个数等于φ(n/d)表示小于n/d的数中与n/d互质的数的个数。设x为小于n/d的与n/d互质的数，则gcd(x*d,n)一定为d，因为gcd(i,n)一定为d或n/d的因子，而若gcd(i,n)不为d，则一定存在d1|n且d1>d，那么这个d1至少有一个n/d的因子，而x与n/d互质，所以gcd(n,x*d)一定为d，所以ans=1+Σgcd(i,n)等价于ans=1+Σ(d|n)d*φ(n/d)

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代码

#include<cstdio> 
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fre(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout);
using namespace std; 
long long  n,anss;  
long long phi(long long n) //欧拉函数（求1到x与x互质的数的个数）
{
    long long ans=n; 
    for (long long i=2;i<=sqrt(n);i++)
     if (n%i==0){
        ans=ans/i*(i-1); 
        while (n%i==0) n/=i; 
     }
    if (n>1) ans=ans/n*(n-1); 
    return ans; 
}
int main()
{
//  fre(beats); 
    scanf("%lld",&n); 
    for (long long i=1;i<=trunc(sqrt(n));i++)
     if (n%i==0) {
        long long k=i; 
        anss+=k*phi(n/k); 
        if (k!=n/k)
        {
            k=n/i;
            anss+=k*phi(n/k); 
        }
     }
    printf("%lld",anss+1); 
}