jzoj3509-倒霉的小C【gcd,欧拉函数】

正题

---

大意

画n条线，每次坐标变换为$(x+n,y+(-1)^{(i+1)}*i) \ \ \ (i=1\sim n)$。给出n，求线穿过的格点数。

---

解题思路

首先我们想穿过格点的问题，我们可以无视方向，然后每次就当从$(0,0)$到$(n,i)$划一条线。然后我们可以发现穿过的格点数(算上起点)就是$gcd(n,i)$，因为每次都会穿过$(n/j,i/j)\ \ \ (j=1\sim gcd(n,i))$这些点。
然后我们可以知道答案就是

$$1+\sum_{i=1}^n gcd(n,i)$$
但是暴力枚举会超时，我们需要想别的方法
$$\sum_{i=1}^n gcd(n,i)=d$$
$$=>\sum_{d=1}^n d*\sum ^n_{i=1}gcd(i,n)=d$$
$$\sum_{d=1}^n d*\sum ^n_{i=1}gcd(i/d,n/d)=1$$
因为要求 $gcd(i/d,n/d)=1$，所以i的个数就是 $\varphi(n/d)$
所以答案就是
$$\sum_{d=1}^n d\times \varphi(n/d)$$
由于要求 $n/d$是整数，所以我们可以化为
$$1+\sum_{d|n} d\times \varphi(n/d)$$
然后暴力枚举约数和暴力求欧拉函数值时间复杂度为 $O(\sqrt n\ \ log\ n)$

---

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,ans=1;
ll phi(ll n)//求欧拉函数
{
    ll ans=n;
    for (ll i=2;i*i<=n;i++)
      if (n%i==0)
      {
        ans=ans/i*(i-1);
        while (n%i==0) n/=i;
      }
    if (n>1) ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
int main()
{
    //freopen("beats.in","r",stdin);
    //freopen("beats.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&n);
    for (ll i=1;i*i<=n;i++)
    {
      if (!(n%i)) 
      {
        ans+=phi(n/i)*i;
        if (i*i!=n) ans+=n/i*phi(i);
      }//求约数
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}