SCOI2014 方伯伯的玉米田(动态规划+树状数组优化)

题目

Description

方伯伯在自己的农田边散步，他突然发现田里的一排玉米非常的不美。

这排玉米一共有N株，它们的高度参差不齐。
方伯伯认为单调不下降序列很美，所以他决定先把一些玉米拔高，再把破坏美感的玉米拔除掉，使得剩下的玉米的高度构成一个单调不下降序列。

方伯伯可以选择一个区间，把这个区间的玉米全部拔高1单位高度，他可以进行最多K次这样的操作。拔玉米则可以随意选择一个集合的玉米拔掉。

问能最多剩多少株玉米，来构成一排美丽的玉米。

Input

第1行包含2个整数n，K，分别表示这排玉米的数目以及最多可进行多少次操作。

第2行包含n个整数，第i个数表示这排玉米，从左到右第i株玉米的高度ai。

Output

输出1个整数，最多剩下的玉米数。

Sample Input

3 1
2 1 3

Sample Output

HINT

1 < N < 10000，1 < K ≤ 500，1 ≤ ai ≤5000

题解

我最恨的就是DP了！！！

不过为了讲课还是做了一下，毕竟tkys_Austin大佬都推荐了。

首先，通过思考我们可以得出每次操作区间的右端点一定为n，否则后面~~赫鲁晓夫~~玉米的高度相对前面的高度就会减少，被拔的也就会变多，不满足最优

我们可以以DP[i][j]表示被操作j次后以i为右端点的最长不下降子序列长度，显然，i被操作了j次，高度就为Orig[i]+j

根据这些我们就能得出状态转移方程：

dp[i][j]=max{dp[k][p]+1}, a[k]+p≤a[i]+j, p≤j, k<i

就可以得到代码了:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,K;
int Orig[10010];
int DP[10010][510];
int main(int argc,char **argv) {
    scanf("%d %d",&n,&K);
    for(register int i(1); i<=n; ++i)scanf("%d",&Orig[i]);
    for(register int i(1); i<=n; ++i) {
        for(register int j(K); j>=0; --j) {
            for(register int x(0); x<i; ++x) {
                for(register int y(K); y>=0; --y) {
                    if(Orig[x]+y<=Orig[i]+j) {
                        DP[i][j]=max(DP[i][j],DP[x][y]+1);
                    }
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n",DP[n][K]);
    return 0;
}

亲身体验之后完美爆零

因为这样的时间复杂度是 \(\Theta(n^{2}k^{2})\) ，直接爆炸

怎么办呢？我们可以用二维树状数组优化

二维树状数组写法差不多，只是多了一重循环。基本思想不变，时间复杂度被优化到了\(\Theta(nklgnlgk)\) ，就AC了

代码 code

#include<bits/stdc++.h>
#define LowBit(i) ((i)&(-i))
using namespace std;
int Orig[10010],DP_BIT[10010][510];
int n,K,MaxOrigHeight,Sum,Ans;
inline void Update(int index1,int index2,int delta){
    register int index(index2);
    while(index1<=(MaxOrigHeight+K)){
        index2=index;
        while(index2<=(K+1)){
            DP_BIT[index1][index2]=max(DP_BIT[index1][index2],delta);
            index2+=LowBit(index2);
        }
        index1+=LowBit(index1);
    }
}
inline int GetSum(int index1,int index2){
    register int ret(0),index(index2);
    while(index1){
        index2=index;
        while(index2){
            ret=max(ret,DP_BIT[index1][index2]);
            index2-=LowBit(index2);
        }
        index1-=LowBit(index1); 
    }
    return ret;
}
int main(int argc,char **argv){
    scanf("%d %d",&n,&K);
    for(register int i(1);i<=n;++i)scanf("%d",&Orig[i]),MaxOrigHeight=max(MaxOrigHeight,Orig[i]);
    for(register int i(1);i<=n;++i){
        for(register int j(K);j>=0;--j){
            Sum=GetSum(Orig[i]+j,j+1)+1;
            Update(Orig[i]+j,j+1,Sum);
            Ans=max(Ans,Sum);
        }
    } 
    printf("%d\n",Ans);
    return 0;
}