边看 其他博主 的博客 博弈知识汇总 边整理一下 博弈论的相关知识。
首先 说一下博弈的一些主要分类：
（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规
定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。
分析：显然 当 n=m+1时，先手一次不能取完，后手都能直接取完。所以先手稳输。所以当n=(m+1)*r+s时，先手的只要拿掉s个或者（m+1)*k+s即可让后手面对 n=(m+1)*(r-k)的局面，这种局面是必输局。当其取k个时你就取m+1-k个，不难理解，最后一个取完的人肯定是你，所以当n=(m+1)*r+s时，（s=n%(m+1) ）,先手必赢。
所以，当 n%（m+1) 为0时先手必输，否则先手必赢。
（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同
时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
·分析：用二元组表示两堆石的数量（a,b)。并称之为局势。显然，如果甲面对（0,0），甲已经输了，那么（0,0）就成为奇异局势。手动可以推出前面几个奇异局势是（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn = 1000 + 10; int SG[maxn][maxn]; void get() { int n=20; for (int i=0;i<=n;i++) for (int j=0;j<=n;j++) { int win=0,lose=0; for (int k=1;k<=min(i,j);k++)//同时从两堆中取相同多的物品 if (SG[i-k][j-k]) win++; else lose++; for (int k=1;k<=i;k++)//从第一堆中取k个 if (SG[i-k][j]) win++; else lose++; for (int k=1;k<=j;k++)//从第二堆中取k个 if (SG[i][j-k]) win++; else lose++; if (lose==0) //所有后继都是必胜态，当前是必败态 printf("%d %d\n",i,j); else SG[i][j]=1; } } int main(){ get(); return 0; }
可以看出。a是前面未出现的最小自然数，b=a+k;(k是第k个奇异局势);
奇异局势的三个性质：
1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak
-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。
2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。（必输局的后继全为必胜）
事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其
他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由
于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。
3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。（必赢局的后继存在至少一个必败局）
假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了
奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b – bk个物体，即变为奇异局
势；如果 a = ak ， b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak – ab + ak个物体,变为奇异局
势（ ab – ak , ab – ak+ b – ak）；如果a > ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余
的数量a – ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）
,从第二堆里面拿走 b – bj 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b – a
j 即可。
从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜
；反之，则后拿者取胜。
再找规律的话我们会发现，a= c* 1.618
而1.618 = （sqrt（5）+ 1） / 2 。
大家都知道0.618是黄金分割率。而威佐夫博弈正好是1.618，这就是博弈的奇妙之处！
这里的1.618最好用公式算出来。不然精确度可能会出错。
相关证明请看这篇博客：https://blog.csdn.net/wu_tongtong/article/details/79295069
（三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的
物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
分析：同理用（a,b,c)表示局势，同理用SG函数打表出来
代码如下：
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn = 100 + 10; int SG[maxn][maxn][maxn]; void get() { int n=10; for (int i=0;i<=n;i++) for (int j=0;j<=n;j++) { for(int g=0;g<=n;g++) { int win=0,lose=0; //for (int k=1;k<=min(i,j);k++)//同时从两堆中取相同多的物品 // if (SG[i-k][j-k]) win++; else lose++; for (int k=1;k<=g;k++)//从第三堆中取k个 if (SG[i][j][g-k]) win++; else lose++; for (int k=1;k<=j;k++)//从第二堆中取k个 if (SG[i][j-k][g]) win++; else lose++; for (int k=1;k<=i;k++)//从第一堆中取k个 if (SG[i-k][j][g]) win++; else lose++; if (lose==0) //所有后继都是必胜态，当前是必败态 printf("%d %d %d\n",i,j,g); else SG[i][j][g]=1; } } } int main(){ get(); return 0; }
对奇异局势进行分析：
首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是
（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情
形。
如果我们面对的是一个非必败态(a,b,c)，要如何变为必败态呢？
由Nim博弈的平衡条件可知，此游戏是一个非平衡状态的Nim博弈，因此，先手在按获胜策略一定能够取得最终的胜利。具体做法有多种，先手可以从大小为12的堆中取走11枚硬币，使得游戏达到平衡（如下表）
之后，无论后手如何取子，先手在取子后仍使得游戏达到平衡。