ACM—网络流初步

转自:https://blog.csdn.net/mystery_guest/article/details/51910913

本图示最大流的一个实例。由此，可以引出最大流的一些基本的定义和概念

可以这样看，图就是一种管道，管道有最大通过流量的限制，图中边的权值就是所谓的“容量”。同时，注意有唯一的源点和汇点。

这里需要注意容量和流量的区别。其中f(u,v)的范围需要额外注意，是 0<= f(u,v) <= c(u,v)，不会出现所谓的负流量。下图是对可行流的图示

有了可行流，我们还需要求最大流

那么如何求最大流呢。可以采用著名的Ford Fulkerson算法

所以说，算法的关键在于

1）何为增广路径，如何找出增广路径。

2）如何更新流量

说的直白些，所谓增广路径，就是找到这样一条路径，其流量不满，未达到容量上限。

所有的可能的增广路径在一起便构成了残留网络。

那么，如何增广呢。

其实，这里的这个描述不太准确。下面我根据我的理解再解释一下。

第一步，计算可增加流量

设某一增广路径上的节点为（a1,a2,a3,a4,....,an）

如果（u,v）是正向边，则增加流量d = min{ c(ai,aj) - f(ai,aj) | j = i +1, i =1,2,3...,n-1}

如果是逆向边，则增加流量d = min{ f(ai, aj) | j = i +1, i =1,2,3...,n-1}

第二步，更新流量

如果（u,v）是正向边，则 f(u,v) = f(u,v) + d

是逆向边，则f(u,v) = f(u,v) - d

注意，如果是逆向边，就是减法，当前管道从中减去部分流量，而且，伴随着这部分减去的流量，必有另一部分管道的流量会增加。。而且，最后的总流量增加了d

结合上述算法，可以详细参阅下下列图示

可以证明，可行流为最大流，当且仅当不存在新的增广路径。

总结一下最大流算法

PPT链接：http://wenku.baidu.com/view/7ed3c241a8956bec0975e32b.html

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 201;

int edges[maxn][maxn];
int n,m;
int ans;
int father[maxn];
bool visited[maxn];

void ford_fulkerson()
{
    ans = 0;
    while(1)
    {
        queue<int> Q;
        memset(father,-1,sizeof(father));
        memset(visited,0,sizeof(visited));
        visited[0] = true;
        Q.push(0);
        while( !Q.empty())
        {
            int now = Q.front();
            Q.pop();
            if(now == m-1)
                break;
            for(int i = 0; i < m; i++)
            {
                if(!visited[i] && edges[now][i])
                {
                    father[i] = now;
                    visited[i] = true;
                    Q.push(i);
                }
            }
        }
        if( !visited[m-1] )
            break;
        int minimal = 1000000000;
        for(int i = m-1; i ; i = father[i])
        {
            if(minimal > edges[father[i]][i])
                minimal = edges[father[i]][i];
        }
        for(int i = m-1; i ; i = father[i])
        {
            edges[father[i]][i] -= minimal;
            edges[i][father[i]] += minimal;
        }
        ans += minimal;
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    freopen("input.txt","r",stdin);
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        int f,t,w;
        memset(edges,0,sizeof(edges));
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&f,&t,&w);
            edges[f-1][t-1] += w;
        }
        ford_fulkerson();
    }
    return 0;
}