ACM博弈-II不平等博弈

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不平等博弈

ACM博弈 - I 平等博弈 SG函数的证明

贪心博弈

例1. Alice’s Game HDU - 3544

题意:

 给n块巧克力,第i块是 n i m i n_i*m_i ,Alice只能垂直切,切成 A m B m A*m和B*m ,并且 A + B = n A+B=n ,Bob只能横切,只能切成 A n B n A*n和B*n ,并且 A + B = m A+B=m

分析:

语言表达能力有限

我们采取 H P ( n , m ) HP(n,m) 表示 n m n*m 的矩形对Alice的可切割次数的贡献,负数代表对Bob的贡献,如果所有 H P i > 0 \sum{HP_i}> 0 ,Alice必赢, H P i < = 0 \sum{HP_i} <= 0 ,Bob(必赢)
对于HP(i,j) 的计算我们有如下法则
1. n 1 n*1 的矩形贡献为n-1
2. 1 m 1*m 的矩形贡献为-(m-1)
3. 2 2 , 3 3 , 4 4.. n n 2*2,3*3,4*4..n*n 的矩形对HP的贡献为零,因为如果你首先下手切,都会给对手更多的机会,如果你能赢,你不会切这个,如果你输,那么切了这个你还会输。
4. 对于 2 3 , 3 2 , 5 4... , 2*3,3*2,5*4... , 的矩阵来说与3的状况相同,对答案的贡献都是0,首先下手都会给对手更多的机会
5. 贡献为零的有什么规律呢,我们发现原来是它们是 2 k < = n < 2 k + 1 2^k <= n < 2^{k+1} && 2 k < = m < 2 k + 1 2^k <= m < 2^{k+1}
6. n 2 n*2 的矩形对于Alice来说有贡献,我们每一次可以选择都切成 2 2 , 3 2 2*2,3*2 的矩形,这样不会给对手机会,自己还可以增加一次切的机会,Bob也不会傻到切这个矩形,这样会给Alice更多机会,所以 n 2 n*2 的矩形,Alice 可以切 n / 2 1 n/2-1
这个时候可以总结一下规律:

  1. 我们每一次切,都会切成 H P ( i , m ) = 0 , H P ( n i , m ) > = 0 HP(i,m) = 0,HP(n-i,m) >= 0 的 两块, H P ( n , m ) = H P ( n i , m ) + 1 HP(n,m) = HP(n-i,m)+1 ,递归下去 H P ( n i j , m ) = H P ( n i j , m ) + 1 HP(n-i-j,m) = HP(n-i-j,m)+1 ,直到 H P ( n i j . . . . , m ) = 0 HP(n-i-j....,m) = 0 ,这怎么计算呢
  2. 我们知道 H P ( n , m ) = 0 HP(n,m) = 0 当且仅当 2 k < = n < 2 k + 1 2^k <= n < 2^{k+1} && 2 k < = m < 2 k + 1 2^k <= m < 2^{k+1}
  3. 那么就有 H P ( n , m ) = n / ( 2 k ) 1 HP(n,m) = n/(2^{k}) - 1
代码看具体博客

HDU3544

2.

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