4259. 【NOIP2015模拟10.22】矩形 (Standard IO)

Description

给定一个由数字（0-9）构成的字符串s。我们可以由此定义出size(s) * size(s) 大
小的矩阵b，其中b[i][j] = s[i] * s[j]；请问在这个矩阵b中，有多少子矩形满足其中的b[i][j]的和为另一个给定的数字a。

Input

第一行一个整数a。
第二行字符串s。

Output

一个整数表示满足条件的子矩形数。

Sample Input

10
12345

Sample Output

6
【样例解释】
b 矩阵为：
01 02 03 04 05
02 04 06 08 10
03 06 09 12 15
04 08 12 16 20
05 10 15 20 25
和为 10 的子矩形有：
一、01 02 03 04
二、
01
02
03
04
三、04 06
四、
04
06
五、10
六、10
以上共六个。

Data Constraint

对 10%的输入数据：size(s)≤10
对30%的输入数据：size(s)≤100
对100%的输入数据：0 ≤a≤1000000000，size(s)≤4000

分析：

我们不难发现一个子矩形（x1，y1，x2，y2）{左上角坐标和右下角坐标}内的和其实是
sum[x1..x2]*sum[y1..y2]（sum即Σ，求和）

列如：s=325
9 6 15
6 4 10
15 10 25 （没错，因为第i,j个位就是s[i]*s[j],1,1就是s[1]*s[1]=3*3=9)
我们要求(1,1，2,1)这个矩阵即9 6
6 4就是（3+2）*（3+2）注意乘的是s里面的数。
所以下面所有矩阵的和都是第一行子矩阵的和的倍数。
即要枚举出符合题意的矩阵，应先找第一行的数，然后用找符合a/sum[x1…x2]（指第一行从x1到x2的和）=sum[y1…y2]（指第一列从y1到y2的和）的子矩阵的值分别有多少个。
我们可以开一个p数组来储存这些因数。
答案就是加上这些因数，因为我们已经找到这个因数（标位因数1）的另一个因数与因数1相乘等于a。
$f[i][j]=\sum_{k=1}^{i}\sum_{l=1}^{j}f[k][l]$
但若a=0时，就不符合上述定律，但我们仍可得出一些结论。
当找到因数1不为0时，则ans+=p[0]，因为这个因数与0相加即得0；
当因数1等于0时，则ans+=lens(s的长度)*(lens+1)/2;
因为因数1下面的数都为0（与0相乘都是0）
即

120
240
000 

我们可以发现当以一个0为一个矩阵时（第三列，就是竖的第三个），有三个，当以2个0为一个矩阵时，则有两个，当以三个0为一个矩阵时，就有一个。可得结论lens+lens-1+lens-2….1
由等差数列可得$(lens+1）*lens/2$

而且还要注意，看a的规模，s最大就是4000个9相加，也就是36000。所以我们需要判断得到的a/因数1=因数2不能大于36000，因为会数组越界，干扰了内存基本基本就WA\TLE\MLE,所以需要特判断。