题目来源：http://noi.openjudge.cn/ch0405/2454/

2454:雷涛的小猫

总时间限制: 20000ms 单个测试点时间限制: 10000ms 内存限制: 65536kB

描述

雷涛同学非常的有爱心，在他的宿舍里，养着一只因为受伤被救助的小猫(当然，这样的行为是违反学生宿舍管理条例的)。在他的照顾下，小猫很快恢复了健康，并且愈发的活泼可爱了。

可是有一天，雷涛下课回到寝室，却发现小猫不见了！经过一番寻找，才发现她正趴在阳台上对窗外的柿子树发呆…

在北京大学的校园里，有许多柿子树，在雷涛所在的宿舍楼前，就有N棵。并且这N棵柿子树每棵的高度都是H。冬天的寒冷渐渐笼罩了大地，树上的叶子渐渐掉光了，只剩下一个个黄澄澄的柿子，看着非常喜人。而雷涛的小猫恰好非常的爱吃柿子，看着窗外树上的柿子，她十分眼馋，于是决定利用自己敏捷的跳跃能力跳到树上去吃柿子。

小猫可以从宿舍的阳台上跳到窗外任意一棵柿子树的树顶。之后，她每次都可以在当前位置沿着当前所在的柿子树向下跳1单位距离。当然，小猫的能力远不止如此，她还可以在树之间跳跃。每次她都可以从当前这棵树跳到另外的任意一棵，在这个过程中，她的高度会下降Delta单位距离。每个时刻，只要她所在的位置有柿子，她就可以吃掉。整个“吃柿子行动”一直到小猫落到地面上为止。

雷涛调查了所有柿子树上柿子的生长情况。他很想知道，小猫从阳台出发，最多能吃到多少柿子？他知道写一个程序可以很容易的解决这个问题，但是他现在懒于写任何代码。于是，现在你的任务就是帮助雷涛写一个这样的程序。

图为N =3, H = 10, Delta = 2的一个例子。小猫按照图示路线进行跳跃，可以吃到最多的8个柿子

输入

输入文件的第一行有三个以空格分隔的整数，分别代表N, H, Delta

接下来的N行，每行第一个整数为N_i，代表第i棵树上的柿子数量。

接下来是N_i个整数，每个整数T_ij代表第i棵柿子树的T_ij高度上长有一个柿子。

输出

输出仅包含一个整数，即小猫最多吃到的柿子数。

样例输入

3 10 2
3 1 4 10
6 3 5 9 7 8 9
5 4 5 3 6 9

样例输出

提示

1 ≤ N, H ≤ 2000
0 ≤ N_i ≤ 5000
1 ≤ Delta ≤ N,1 ≤ T_ij ≤ H
输入文件大小不大于40960KB

来源

Excalibur, 2008

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思路

动态规划

dp[i][j]: 从宿舍跳到第i棵树的第j层一共吃到的柿子数

dp[i][j] =max(dp[i][j+1], hmax[j+d])

hmax[h] = max(dp[i][h])

其中hmax的引入巧妙地将O(n^3)降至O(n^2).

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代码

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<cstdio>
using namespace std;

long long dp[2005][2005] = {};						// 从宿舍跳到第i棵树的第j层一共吃到的柿子数
int mat[2005][2005] = {};							// 每棵树每层的柿子个数
long long hmax[2005] = {};							// max(dp[i][h]), i=1,2,...,n

// 动态规划 dp[i][j] = max(dp[i][j+1], hmax[j+d])
//			hmax[h] = max(dp[i][h])

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	ifstream fin ("0405_2454.txt");
	int n,h,d,i,j,hn,tmph;
	long long mymax = 0;
	fin >> n >> h >> d;
	for (i=1; i<=n; i++)
	{
		fin >> hn;
		for (j=1; j<=hn; j++)
		{
			fin >> tmph;
			mat[i][tmph]++;
		}
	}
	fin.close();
	mymax = 0;
	for (i=1; i<=n; i++)								// 初始化树顶
	{
		dp[i][h] = mat[i][h];
		mymax = max(mymax, dp[i][h]);
	}
	hmax[h] = mymax;
	for (j=h-1; j>=0; j--)								// dp[i][j] = max(dp[i][j+1], hmax[j+d]);
	{
		mymax = 0;
		for (i=1; i<=n; i++)
		{
			if (j+d<=h)
			{
				dp[i][j] = mat[i][j] + max(dp[i][j+1], hmax[j+d]);
			}
			else
			{
				dp[i][j] = mat[i][j] + dp[i][j+1];
			}
			mymax = max(mymax, dp[i][j]);
		}
		hmax[j] = mymax;
	}
	mymax = 0;
	for (i=1; i<=n; i++)
	{
		mymax = max(mymax, dp[i][0]);
	}
	cout << mymax;
	return 0;
#endif
#ifdef ONLINE_JUDGE
	int n,h,d,i,j,hn,tmph;
	long long mymax = 0;
	cin >> n >> h >> d;
	for (i=1; i<=n; i++)
	{
		cin >> hn;
		for (j=1; j<=hn; j++)
		{
			cin >> tmph;
			mat[i][tmph]++;
		}
	}
	mymax = 0;
	for (i=1; i<=n; i++)								// 初始化树顶
	{
		dp[i][h] = mat[i][h];
		mymax = max(mymax, dp[i][h]);
	}
	hmax[h] = mymax;
	for (j=h-1; j>=0; j--)								// dp[i][j] = max(dp[i][j+1], hmax[j+d]);
	{
		mymax = 0;
		for (i=1; i<=n; i++)
		{
			if (j+d<=h)
			{
				dp[i][j] = mat[i][j] + max(dp[i][j+1], hmax[j+d]);
			}
			else
			{
				dp[i][j] = mat[i][j] + dp[i][j+1];
			}
			mymax = max(mymax, dp[i][j]);
		}
		hmax[j] = mymax;
	}
	mymax = 0;
	for (i=1; i<=n; i++)
	{
		mymax = max(mymax, dp[i][0]);
	}
	cout << mymax;
	return 0;
#endif
}

NOI 4.5 动态规划 2454:雷涛的小猫

2454:雷涛的小猫

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