查找-折半查找(二分查找)

1.折半查找定义

折半查找(Binary Search)技术，又称为二分查找。它的前提是线性表中的记录必须是关键码有序(通常从小到大有序)，线性表必须采用顺序存储。折半查找的基本思想是：在有序表中，取中间记录作为比较对象，若给定值与中间记录的关键字相等，则查找成功；若给定值小于中间记录的关键字，则在中间记录的左半区继续查找；若给定值大于中间记录的关键字，则在中间记录的右半区继续查找。不断重复上述过程，直到查找成功，或所有查找区域无记录，查找失败为止。

2.折半查找算法

一个有序表数组{0,1,16,24,35,47,59,62,73,88,99}，除0下标外共10个数字。对它进行查找是否存在62这个数。折半查找算法如下所示：

/*折半查找*/
int Binary_Search(int *a,int n,int key)
{
    int low,high,mid;
    low=1;  //定义最低下标为记录首位
    high=n; //定义最高下标为记录末位
    while(low<=high)
    {
        mid=(low+high)/2;   //折半
        if(key<a[mid])  //若查找值比中值小
            high=mid-1; //最高下标调整到中位下标小一位
        else if(key>a[mid]) //若查找值比中值大
            low=mid+1;  //最低下标调整到中位下标大一位
        else
            return mid; //若相等则说明mid即为查找到的位置
    }
    return 0;
}

上述代码的具体执行流程

1.程序开始运行，参数a={0,1,16,24,35,47,59,62,73,88,99}，n=10，key=62，第3~5行，此时low=1，high=10，如下图所示：

2.6~15行循环，进行查找

3.第8行，mid计算得到5，由于a[5]=47 < key，所以执行了第12行，low=5+1=6，如下图所示：

4.再次循环，mid=(6+10)/2=8，此时a[8]=73>key，所以执行第10行，high=8-1=7，如下图所示：

5.再次循环，mid=(6+7)/2=6，此时a[6]=59 < key，所以执行12行，low=6+1=7，如下图所示：

6.再次循环，mid=(7+7)/2=7，此时a[7]=62=key，查找成功，返回7。

3.折半查找实现(Java)

实现的目录结构

折半查找类

package com.red.binary.search;

public class BinarySearch {

    public int binarySearch(int[] arr, int key) {

        int low = 0; 
        int high = arr.length-1;
        while(low<=high) {
            int middle = (low+high)/2;
            if(arr[middle]==key) {
                return middle;
            }else if(arr[middle] > key) {//如果中间值大于key，则说明要在中间值左边去找key，即high=middle-1
                high = middle-1;
            }else {
                low=middle+1;
            }

        }
        return -1;
    }

}

测试类

package com.red.binary.search;

public class BinarySearchTest {

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = new int[]{1,16,24,35,47,59,62,73,88,99};
        BinarySearch bs = new BinarySearch();
        int search = bs.binarySearch(arr, 62);
        System.out.println("key所在位置：" + search);
    }

}

输出结果

key所在位置：6

4.折半查找复杂度分析

该算法的效率非常高，但到底高多少？关键在于此算法的时间复杂度分析。首先，我们将这个数组的查找过程绘制成一棵二叉树，如下图所示，从图上就可以理解，如果查找的关键字不是中间记录47的话，折半查找等于是把静态有序查找表分成了两棵子树，即查找结果只需要找其中的一半数据记录即可，等于工作量少了一半，然后继续折半查找，效率当然是非常高了。

根据二叉树的性质，具有n个结点的完全二叉树的深度为$\left \lfloor \log 2^n \right \rfloor+1$。在这里尽管折半查找判定二叉树并不是完全二叉树，但同样可以得出，最坏情况是查找到关键字或查找失败的此时为$\left \lfloor \log 2^n \right \rfloor+1$。因此最终我们折半查找算法的时间复杂度为O(logn)，它显然远远好于顺序查找的O(n)时间复杂度了。

不过由于折半查找的前提条件是需要有序表顺序存储，对于静态查找表，一次排序后不再变化，这样的算法已经比较好了。但对于需要频繁执行插入或删除操作的数据集来说，维护有序的排序会带来不小的工作量，那就不建议使用。