前提
区间（数组或其他）是单调（有序）的。
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主要思路
将区间分成三部分，[low, mid)、[mid, mid]（只有一个值即中点 (mid)）和 (mid, high] ，比较中点 mid 对应的元素值与目标元素值 target 的大小关系，等于 target，代表找到了，直接返回，否则就在（小于target）前半区间 [low, mid) 或（大于target）后半区间(mid, high] 中查找。
具体操作如下：
- 判断区间中点 mid 对应的元素的值是否等于目标元素 target 的值，相等则代表查找到，直接返回结束查找；
- 不相等，则比较 mid 对应的元素的值与目标元素 target 的值的大小关系，如果小于 target ，就在后半区间 (mid, high] 中查找（将 low 赋值为 mid 加 1）；
- 否则就在前半区间 [low, mid) 中查找（将 high 赋值为 mid 减 1）；
- 重复这个过程，直到找到目标元素或者查找区间/范围为空。
二分查找模板
非递归版本
int binarySearch(int* nums, int numsSize, int target) {
if (nums == NULL || numsSize <= 0) {
return -1;
}
int low = 0, high = numsSize - 1;
while (low <= high) { // 这里取左闭右闭区间，即[left, right]
int mid = low + ((high - low) >> 1); // 防止整型溢出
if (nums[mid] == target) { // 找到跟目标值相等的元素，直接返回下标
return mid;
} else if (nums[mid] > target) { // 数组元素值大于目标值，取左侧 [left, mid) 查找
high = mid - 1;
} else if (nums[mid] < target) { // 元素值小于目标值，取右侧 (mid, right] 查找
low = mid + 1; // 写成 else if 主要是为了把判断条件描述清晰
}
}
return -1;
}
递归版本
int binarySearch(int* nums, int low, int high, int target) {
if (low > right) {
return -1;
}
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (nums[mid] > target) {
return binarySearch(nums, low, mid - 1, target);
} else if (nums[mid] < target) {
return binarySearch(nums, mid + 1, high, target);
} else if (nums[mid] == target) {
return mid;
}
}
注意点
-
mid 的取值，为何是 low + ((high - low) >> 1) 或者 low + (high - low) / 2 而不是 (high + low) / 2 ？
因为 int 类型最大表示范围是 2147483647 ，那么对于两个都接近 2147483647 的数字而言，它们相加的结果将会溢出，变成负数。所以如果想避免出现整数溢出的风险，使用前面两个替代。 -
while 循环的条件到底是 <= 还是 < ？
high 初始值不同，两个可能出现在不同功能的二分查找中。主要区别:
前者的查找区间两端都是闭区间 [low, high] ，high = numsSize - 1 。
后者的查找区间是左闭右开区间 [low, high) ，high = numsSize。 -
while 循环何时终止？
当搜索区间为空或者目标元素找到，就结束循环。只考虑搜索区间的话，有如下两种情况：
while (low <= high) 终止条件是 low == high + 1 ，即[high + 1, high]，此时搜索区间为空，结束循环；
while (low < high) 终止条件是 low == high ，即[high, high]，此时搜索区间不为空，因为还存在一个元素 high ，暂时还不能结束循环。
当有多个目标元素的时候，如何查找左右边界？
例如在数组 nums = [5, 7, 7, 8, 8, 10] 中查找 target = 8 的左右边界，左侧边界下标为 3，右边界下标为 4 ，这是如何查找到的呢？
查找左侧边界
主要思想
当数组的中间下标对应的元素值等于目标值 target (即nums[mid] == target)时，不立即返回（数组中可能存在多个元素的值等于目标值），而是缩小搜索区间的上界 high ，不断向左收缩，最后达到锁定左侧边界的目的。
如下图所示：
由于 nums[mid] = 7 < target, 所以需要在右半区间((mid, high])中查找，即 low = mid + 1, mid = low + ((high - low) >> 1)
此时，由于 nums[mid] = 8 == target, 不立即返回而是缩小搜索区间上界，即 high = mid - 1, mid = low + ((high - low) >> 1)
由于 nums[mid] = 8 == target, 继续搜索区间上界，即high = mid - 1，此时 low > high ，跳出循环（low = high + 1）
代码
int GetTargetFirstPosition(int* nums, int numsSize, int target) {
int low = 0, high = numsSize - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
/* 找到目标值 target 时，不立即返回，缩小搜索区间的上界 high ，不断向左收缩，锁定左侧边界 */
if (nums[mid] == target) {
/* 在区间 [low, mid - 1] 中查找 */
high = mid - 1;
} else if (nums[mid] > target) {
high = mid - 1;
} else if (nums[mid] < target) {
low = mid + 1;
}
}
/* 循环结束条件 low = high + 1 ，由于 low 的取值范围是 [0, numsSize]，如果目标值 target
比所有数都大或者没被找到(例如在数组 [5,7,7,8,8,10] 中查找 11 或 6)，返回 -1 */
if (low == numsSize || nums[low] != target) {
return -1;
}
return low;
}
查找右侧边界
主要思想
同理，在找到目标值 target 时，不立即返回，增大搜索区间的下界 low ，不断向右收缩，最后达到锁定右侧边界目的。
代码
int GetTargetLastPosition(int* nums, int numsSize, int target) {
int low = 0, high = numsSize - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (nums[mid] == target) {
low = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
high = mid - 1;
} else if (nums[mid] < target) {
low = mid + 1;
}
}
/* 目标值 target 比所有数都小或者没被找到 */
if (low == 0 || nums[high] != target) {
return -1;
}
return high;
}
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