数学建模|熵权法|简要原理+Matlab代码实现

1. 核心原理介绍

1.1 熵 $\mathop e\nolimits_j \$

【衡量某个指标的混乱程度】

（1）信息论中：熵是不确定性的一种度量，可判断一个事件的随机性及无序程度

（2）熵值可判断某个指标的离散程度，指标的离散（混乱）程度越大，说明该指标对综合评价的主体影响越大

1.2 变异系数 $\mathop g\nolimits_j \$

$\large \mathop g\nolimits_j = 1 - \mathop e\nolimits_j \$

熵与变异系数的关系：

熵值越大，变异系数越小，代表该指标越有序，该指标的信息量越小（越不重要）

2. 实例建模过程

2.1 实例

要求：根据下表给出的10个学生8门课的成绩，给出这10个学生评奖学金的评分排序

2.2 建模过程

（1）数据预处理【标准化】

标准化原因：

不同指标数量级可能不同

评价体系中，存在正向指标（数值越大越好）and 负向指标（数值越小越好）

变量定义：设 $\large \mathop x\nolimits_{{\rm{i}}j} \$ 为第i个学生的第j门课程的成绩（注意：本例题中分数都是正向指标）
正向指标标准化：

$\large \mathop a\nolimits_{ij} = \frac{{\mathop x\nolimits_{ij} - \min \left\{ {\mathop x\nolimits_{1j} , \cdots ,\mathop x\nolimits_{nj} } \right\}}}{{\max \left\{ {\mathop x\nolimits_{1j} , \cdots ,\mathop x\nolimits_{nj} } \right\} - \min \left\{ {\mathop x\nolimits_{1j} , \cdots ,\mathop x\nolimits_{nj} } \right\}}}\$

负向指标标准化：

$\large \mathop a\nolimits_{ij} = \frac{{\max \left\{ {\mathop x\nolimits_{1j} , \cdots ,\mathop x\nolimits_{nj} } \right\} - \mathop x\nolimits_{ij} }}{{\max \left\{ {\mathop x\nolimits_{1j} , \cdots ,\mathop x\nolimits_{nj} } \right\} - \min \left\{ {\mathop x\nolimits_{1j} , \cdots ,\mathop x\nolimits_{nj} } \right\}}}\$

【标准化后， $\large \mathop a\nolimits_{ij} \in [0,1]\$ 】

（2）确定指标熵值与变异系数

每个评价对象在各个指标中的比重（等价为出现的概率） $\large {\mathop p\nolimits_{ij} }\$

$\large \mathop p\nolimits_{ij} = \frac{{\mathop a\nolimits_{ij} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {\mathop a\nolimits_{ij} } }}\$

计算熵值 $\large \mathop e\nolimits_j \$

$\large \mathop e\nolimits_j = - \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {\mathop p\nolimits_{ij} } \ln \left( {\mathop p\nolimits_{ij} } \right)}}{{\ln (n)}}\$

计算变异系数 $\large \mathop g\nolimits_j \$

$\large \mathop g\nolimits_j = 1 - \mathop e\nolimits_j \$

（3）确定权重与综合评分

计算变异系数权重 $\large \mathop w\nolimits_j \$

（计算第j个科目的权重）

指标的变异系数越大，信息量越大，相应的科目成绩的权重也越大

$\large \mathop w\nolimits_j = \frac{{\mathop g\nolimits_j }}{{\sum\limits_{i = 1}^m {\mathop g\nolimits_j } }}\$

计算综合评分 $\large \mathop s\nolimits_i \$

（计算第i个学生的综合得分）

对不同科目加权求和，得到每个人的评价得分，得分越大越好

注意： $\large {\mathop p\nolimits_{ij} }\$ 与 $\large \mathop w\nolimits_j \$ 都是根据原始数据求得，完全客观

$\large \mathop s\nolimits_i = \sum\limits_j^m {\mathop w\nolimits_j \mathop p\nolimits_{ij} } \$

3. Matlab实现

3.1 代码

(1)指标标准化

%初始化一个对应大小的标准化矩阵
x2 = zeros(n,m);

for j=1:1:m
    for i = 1:1:n
        x2(i,j) = (x(i,j)-min(x(:,j)))/(max(x(:,j))-min(x(:,j)));
        if(x2(i,j)==0)
            x2(i,j)=0.001;% 求对数不能为0，故取个极小的数
        end
    end
end

(2)求熵和变异系数

%求每个评价对象在各个指标的比重
p=x2./sum(x2);%sum函数默认是求每一列的

%求熵值
e = -( sum(p .* log(p)) )/log(n);

%求变异系数
g = 1 - e;

(3)计算权重并求解综合评价

%计算权重
w = g ./ sum(g);

%计算每个评价对象的综合评价值
s_ = (p * w')';

%降序排序
[ss,rank] = sort(s_,'descend');%对评价值从大到小排序；descend表示降序

3.2 结果展示

从变量rank中我们可得学生综合评分的排名：

排名	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
学生编号	9	1	3	6	7	5	10	4	8	2

4. 总结

评价类别有很多方法：熵权法、AHP、TOPSIS......

熵权法与其他最大的区别：熵权法追求“完全公正”即完全客观，是根据数据本身建立的评价体系

缺点：难以将数据之外的因素考虑进去