复习--------范数

范数

范数和赋范矢量空间的认识

范数是一个具有“长度”概念的函数。在线性代数、范函分析及相关的数学领域里，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。定义范数的矢量空间就是赋范矢量空间。

范数赋范矢量空间的数学定义

$$f\in S若存在唯一实数\Vert \cdot \Vert$$满足

1. 正定性：$$f\ge 0,当且仅当f=0，\Vert f\Vert =0$$
2. 其次性：$$\forall a\in R，\Vert af\Vert =|a|\cdot \Vert f\Vert$$
3. 三角不等式：$$\Vert f+g\Vert \le \Vert f\Vert +\Vert g\Vert ，f,g\in S$$
   $$则称\Vert \cdot \Vert ，是线性空间S上的范数，线性空间S则称为赋范线性空间。$$

向量范数的数学定义

$$R^n空间的向量范数\Vert \cdot \Vert 指的是一个R^n\to R的函数，对任意的x,y\in R^n满足下列条件$$

1. $$\Vert x\Vert \ge 0,\Vert x\Vert =0当且仅当x=0（正定性）$$
2. $$\Vert ax\Vert =|a|\cdot \Vert x\Vert ，\forall a\in R（其次性）$$
3. $$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert （三角不等式）$$

集中常见的向量范数

1. $$向量的\infty -范数：\Vert x{\Vert }_{\infty }=\underset{1\le i\le n}{\max }|x_i|$$
2. $$向量的1-范数：\Vert x{\Vert }_i=\sum _{i=1}^n|x_i|$$
3. $$向量的2-范数：\Vert x{\Vert }_2=(\sum _{i=1}^n{x}^2{)}^{\frac{1}{2}}$$
4. $$向量的p-范数：\Vert x{\Vert }_p=(\sum _{i=1}^n|x{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}$$

矩阵范数的数学定义

$$如果矩阵A\in R^{m\times n}的某个非负的实值函数\Vert \cdot \Vert 满足：$$

1. 正定性： $$\Vert A\Vert \ge 0,\Vert A\Vert =0但且仅当A=O$$
2. 其次性：$$\Vert aA\Vert =|a|\cdot \Vert A\Vert ，对任意的a\in R$$
3. 三角不等式：$$\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$$
4. 相容性：$$\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$$
   $$则称\Vert \cdot \Vert 是一个矩阵范数$$

函数范数的数学定义

$$在连续函数空间C[a,b]中范数的定义为：$$
$$在函数空间C[a,b]中，f\in C[a,b]，若存在唯一实数\Vert \cdot \Vert 满足：$$

1. 正定性：$$\Vert f\Vert \ge 0，当且仅当f=0时，\Vert f\Vert =0$$
2. 其次性：$$\forall a\in R，\Vert af\Vert =|a|\cdot \Vert f\Vert$$
3. 三角不等式：$$\Vert f+g\Vert \le \Vert f\Vert \cdot \Vert g\Vert ，f,g\in C[a,b]$$

常见的函数范数：

1. $$函数的\infty -范数：\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{a<x<b}{\max }|f(x)|$$
2. $$函数的1-范数：\Vert f{\Vert }_1={\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$$
3. $$函数的2-范数：\Vert f{\Vert }_2=|{\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x{|}^{\frac{1}{2}}$$

例子：