三维变换
与二维变换类似，可以在齐次坐标下，将三维向量变成四维向量：
点： ( x , y , z , 1 ) T (x,y,z,1)^T (x,y,z,1)T
向量： ( x , y , z , 0 ) T (x,y,z,0)^T (x,y,z,0)T
同样的，在齐次坐标下，当 w ≠ 0 w\neq0 w=0时，我们认为 ( x , y , z , w ) (x,y,z,w) (x,y,z,w)表示点 ( x / w , y / w , z / w ) (x/w,y/w,z/w) (x/w,y/w,z/w)。
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仿射变换矩阵
( x ′ y ′ z ′ 1 ) = ( a b c t x d e f t y g h i t z 0 0 0 1 ) ⋅ ( x y z 1 ) \begin{pmatrix}x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b&c&t_x\\d&e&f&t_y\\g&h&i&t_z\\0&0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛x′y′z′1⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛adg0beh0cfi0txtytz1⎠⎟⎟⎞⋅⎝⎜⎜⎛xyz1⎠⎟⎟⎞
当我们用一个矩阵进行变换时，是先进行线性变换（旋转、缩放、错切）再进行平移。 -
缩放矩阵
S ( s x , s y , s z ) = ( s x 0 0 0 0 s y 0 0 0 0 s z 0 0 0 0 1 ) \mathbf{S}(s_x,s_y,s_z)=\begin{pmatrix}s_x&0&0&0\\0&s_y&0&0\\0&0&s_z&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} S(sx,sy,sz)=⎝⎜⎜⎛sx0000sy0000sz00001⎠⎟⎟⎞ -
平移矩阵
T ( t x , t y , t z ) = ( 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ) \mathbf{T}(t_x,t_y,t_z)=\begin{pmatrix}1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1\end{pmatrix} T(tx,ty,tz)=⎝⎜⎜⎛100001000010txtytz1⎠⎟⎟⎞ -
旋转矩阵
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绕X轴旋转
R x ( α ) = ( 1 0 0 0 0 cos α − sin α 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 1 ) \mathbf{R}_x(\alpha)=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos\alpha&-\sin\alpha&0\\0&\sin\alpha&\cos\alpha&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} Rx(α)=⎝⎜⎜⎛10000cosαsinα00−sinαcosα00001⎠⎟⎟⎞ -
绕Y轴旋转
R y ( α ) = ( cos α 0 sin α 0 0 1 0 0 − sin α 0 cos α 0 0 0 0 1 ) \mathbf{R}_y(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos\alpha&0&\sin\alpha&0\\0&1&0&0\\-\sin\alpha&0&\cos\alpha&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} Ry(α)=⎝⎜⎜⎛cosα0−sinα00100sinα0cosα00001⎠⎟⎟⎞
这里绕Y轴旋转与其他两个有点不一样，可以看到 − sin α -\sin\alpha −sinα和 sin α \sin\alpha sinα位置是互换的，这是因为无论是X轴还是Z轴，通过其他两个轴叉乘获得时都是按照右手螺旋定则得到的，而Y轴则是通过左手螺旋定则获得，所以与其余两个矩阵有一点差别。
R z ( α ) = ( cos α − sin α 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) \mathbf{R}_z(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha&0&0\\\sin\alpha&\cos\alpha&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} Rz(α)=⎝⎜⎜⎛cosαsinα00−sinαcosα0000100001⎠⎟⎟⎞
R ( n , α ) = cos ( α ) I + ( 1 − cos ( α ) ) n n T + sin ( α ) ( 0 − n z n y n z 0 − n x − n y n x 0 ) ⏟ N \mathbf{R}(\mathbf{n},\alpha)=\cos(\alpha)\mathbf{I}+(1-\cos(\alpha))\mathbf{nn}^T+\sin(\alpha)\underbrace{\begin{pmatrix}0&-n_z&n_y\\n_z&0&-n_x\\-n_y&n_x&0\end{pmatrix}}_N R(n,α)=cos(α)I+(1−cos(α))nnT+sin(α)N
⎝⎛0nz−ny−nz0nxny−nx0⎠⎞
这里，我们认为这里的旋转轴 n \mathbf{n} n是过原点的，如果我们需要计算绕着不经过原点的轴旋转，那么可以先平移到原点，再进行旋转，最后平移回去就可以了。
视图变换矩阵MVP（Model - View - Projection)。
以相机为原点，相机向上方向为 t ^ \hat{t} t^，相机朝向为 g ^ \hat{g} g^， g ^ × t ^ \hat{g}\times\hat{t} g^×t^ 为 e ^ \hat{e} e^。将模型空间内的物体转换到相机空间，其实就相当于将相机的 e ^ \hat{e} e^ 移动旋转到X轴， g ^ \hat{g} g^ 移动旋转到Y轴， t ^ \hat{t} t^ 移动旋转到Z轴，同时，物体会与相机保持相对静止。
那么变换矩阵 M v i e w = R v i e w T v i e w M_{view}=R_{view}T_{view} Mview=RviewTview，我们先进行平移 T v i e w = [ 1 0 0 − x e 0 1 0 − y e 0 0 1 − z e 0 0 0 1 ] T_{view}=\begin{bmatrix}1&0&0&-x_e\\0&1&0&-y_e\\0&0&1&-z_e\\0&0&0&1\end{bmatrix} Tview=⎣⎢⎢⎡100001000010−xe−ye−ze1⎦⎥⎥⎤然后，再将对应的轴旋转过去。这里我们如果直接写将 e ^ g ^ t ^ \hat{e}\hat{g}\hat{t} e^g^t^ 旋转到XYZ的矩阵会比较困难，我们之前提到过，旋转矩阵是一个正交矩阵，所以他的逆矩阵和转置矩阵是相等的，我们可以使用这个性质。直接写出从XYZ旋转到 e ^ g ^ t ^ \hat{e}\hat{g}\hat{t} e^g^t^ 的旋转矩阵 R v i e w − 1 = [ x g ^ × t ^ x t x − g 0 y g ^ × t ^ y t y − g 0 z g ^ × t ^ z t z − g 0 0 0 0 1 ] R^{-1}_{view}=\begin{bmatrix}x_{\hat{g}\times\hat{t}}&x_t&x_{-g}&0\\y_{\hat{g}\times\hat{t}}&y_t&y_{-g}&0\\z_{\hat{g}\times\hat{t}}&z_t&z_{-g}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} Rview−1=⎣⎢⎢⎡xg^×t^yg^×t^zg^×t^0xtytzt0x−gy−gz−g00001⎦⎥⎥⎤
然后， R v i e w = ( R v i e w − 1 ) − 1 = ( R v i e w − 1 ) T = [ x g ^ × t ^ y g ^ × t ^ z g ^ × t ^ 0 x t y t z t 0 x − g y − g z − g 0 0 0 0 1 ] R_{view}=(R^{-1}_{view})^{-1}=(R^{-1}_{view})^T=\begin{bmatrix}x_{\hat{g}\times\hat{t}}&y_{\hat{g}\times\hat{t}}&z_{\hat{g}\times\hat{t}}&0\\x_t&y_t&z_t&0\\x_{-g}&y_{-g}&z_{-g}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} Rview=(Rview−1)−1=(Rview−1)T=⎣⎢⎢⎡xg^×t^xtx−g0yg^×t^yty−g0zg^×t^ztz−g00001⎦⎥⎥⎤
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投影变换
投影分为正交投影（Orthographic Projection）和透视投影（Perspective Projection）。 -
正交投影
将相机摆在原点，看向-Z轴方向，向上方向朝向Y轴，然后将Z轴去掉，然后将区间缩放到 [ − 1 , 1 ] 2 [-1,1]^2 [−1,1]2 之间，就获得了正交投影的结果。
在图形学中，我们定义一个立方体 [ l , r ] × [ b , t ] × [ f , n ] ( l 左 ， r 右 ， b 下 ， t 上 ， f 远 ， n 近 ； 这 里 因 为 我 们 是 看 向 − Z 方 向 的 ， 所 以 n 的 值 比 f 大 ) [l,r]\times[b,t]\times[f,n](l左，r右，b下，t上，f远，n近；这里因为我们是看向-Z方向的，所以 n 的值比 f 大) [l,r]×[b,t]×[f,n](l左，r右，b下，t上，f远，n近；这里因为我们是看向−Z方向的，所以n的值比f大)，将这个立方体通过变换，得到一个中心在原点，范围在 [ − 1 , 1 ] 3 [-1,1]^3 [−1,1]3 的立方体，这个过程就是正交变换。
变换矩阵 M o r t h o = [ 2 r − t 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − r + l 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 ] = [ 2 r − t 0 0 − r + l 2 0 2 t − b 0 − t + b 2 0 0 2 n − f − n + f 2 0 0 0 1 ] M_{ortho}=\begin{bmatrix}\frac{2}{r-t}&0&0&0\\0&\frac{2}{t-b}&0&0\\0&0&\frac{2}{n-f}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&-\frac{r+l}{2}\\0&1&0&-\frac{t+b}{2}\\0&0&1&-\frac{n+f}{2}\\0&0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{2}{r-t}&0&0&-\frac{r+l}{2}\\0&\frac{2}{t-b}&0&-\frac{t+b}{2}\\0&0&\frac{2}{n-f}&-\frac{n+f}{2}\\0&0&0&1\end{bmatrix} Mortho=⎣⎢⎢⎡r−t20000t−b20000n−f200001⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡100001000010−2r+l−2t+b−2n+f1⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡r−t20000t−b20000n−f20−2r+l−2t+b−2n+f1⎦⎥⎥⎤ -
透视投影
透视投影的立方体中，远平面 f f f 比近平面 n n n 的面积大，我们可以将远平面缩放到与近平面一样大，这样就可以将透视投影转换为正交投影了。
由相似三角形的原理可以得到这个立方体中的任意一点 ( x , y , z , 1 ) (x,y,z,1) (x,y,z,1) 通过压缩，再统一乘以 z z z 可以得到 ( x ′ y ′ z ′ 1 ) = ( n x z n y z ? 1 ) = ( n x n y ? z ) \begin{pmatrix}x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{nx}{z}\\\frac{ny}{z}\\?\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}nx\\ny\\?\\z\end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛x′y′z′1⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛znxzny?1⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛nxny?z⎠⎟⎟⎞
那么，我们就可以定义一个矩阵 M p e r s p → o r t h o M_{persp\to ortho} Mpersp→ortho，满足
M p e r s p → o r t h o ( x y z 1 ) = ( n x n y ? z ) M_{persp\to ortho}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}nx\\ny\\?\\z\end{pmatrix} Mpersp→ortho⎝⎜⎜⎛xyz1⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛nxny?z⎠⎟⎟⎞
由此，可以计算出
M p e r s p → o r t h o = ( n 0 0 0 0 n 0 0 ? ? ? ? 0 0 1 0 ) M_{persp\to ortho}=\begin{pmatrix}n&0&0&0\\0&n&0&0\\?&?&?&?\\0&0&1&0\end{pmatrix} Mpersp→ortho=⎝⎜⎜⎛n0?00n?000?100?0⎠⎟⎟⎞
为了计算出第三行，我们可以取两个特殊的点，首先，近平面上的点肯定也满足这个转换条件，并且近平面上的点通过转换后与原来的相同，我们知道，近平面上的点的 z = n z=n z=n，所以
( x ′ y ′ z ′ 1 ) = ( n x n y ? z ) = M p e r s p → o r t h o ( x y z 1 ) = M p e r s p → o r t h o ( x y n 1 ) = ( n x n y n 2 n ) \begin{pmatrix}x^\prime\\y^\prime\\z^\prime\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}nx\\ny\\?\\z\end{pmatrix}=M_{persp\to ortho} \begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}=M_{persp\to ortho}\begin{pmatrix}x\\y\\n\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}nx\\ny\\n^2\\n\end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛x′y′z′1⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛nxny?z⎠⎟⎟⎞=Mpersp→ortho⎝⎜⎜⎛xyz1⎠⎟⎟⎞=Mpersp→ortho⎝⎜⎜⎛xyn1⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛nxnyn2n⎠⎟⎟⎞
从上式可以得出，矩阵的第三行为 ( 0 0 A B ) \begin{pmatrix}0&0&A&B\end{pmatrix} (00AB) ，
( 0 0 A B ) ( x y n 1 ) = n 2 \begin{pmatrix}0&0&A&B\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\n\\1\end{pmatrix}=n^2 (00AB)⎝⎜⎜⎛xyn1⎠⎟⎟⎞=n2
由此可得 A n + B = n 2 (1) An+B=n^2 \tag{1} An+B=n2(1)
再则，我们都知道，远平面上的点通过变换之后， z z z 值是不变的，并且远平面上的点的 z = f z=f z=f，我们取远平面上的一个特殊的点 ( 0 0 f 1 ) T \begin{pmatrix}0&0&f&1\end{pmatrix}^T (00f1)T，经过变换之后，依然等于这个点，
M p e r s p → o r t h o ( 0 0 f 1 ) = ( 0 0 f 1 ) = = f ⋅ ( 0 0 f 1 ) = ( 0 0 f 2 f ) M_{persp\to ortho}\begin{pmatrix}0\\0\\f\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\f\\1\end{pmatrix}==f\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\f\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\f^2\\f\end{pmatrix} Mpersp→ortho⎝⎜⎜⎛00f1⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛00f1⎠⎟⎟⎞==f⋅⎝⎜⎜⎛00f1⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛00f2f⎠⎟⎟⎞
由此可得 A f + B = f 2 (2) Af+B=f^2\tag{2} Af+B=f2(2)
由 ( 1 ) ( 2 ) (1)(2) (1)(2)式可解出 A = n + f B = − n f A=n+f\\B=-nf A=n+fB=−nf
于是，从透视空间变化到正交空间的变换矩阵为
M p e r s p → o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] M_{persp\to ortho}=\begin{bmatrix}n&0&0&0\\0&n&0&0\\0&0&n+f&-nf\\0&0&1&0\end{bmatrix} Mpersp→ortho=⎣⎢⎢⎡n0000n0000n+f100−nf0⎦⎥⎥⎤
最终可得，透视变换的矩阵为
M p e r s p = M o r t h o M p e r s p → o r t h o = [ 2 r − t 0 0 − r + l 2 0 2 t − b 0 − t + b 2 0 0 2 n − f − n + f 2 0 0 0 1 ] [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] M_{persp}=M_{ortho}M_{persp\to ortho}=\begin{bmatrix}\frac{2}{r-t}&0&0&-\frac{r+l}{2}\\0&\frac{2}{t-b}&0&-\frac{t+b}{2}\\0&0&\frac{2}{n-f}&-\frac{n+f}{2}\\0&0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}n&0&0&0\\0&n&0&0\\0&0&n+f&-nf\\0&0&1&0\end{bmatrix} Mpersp=MorthoMpersp→ortho=⎣⎢⎢⎡r−t20000t−b20000n−f20−2r+l−2t+b−2n+f1⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡n0000n0000n+f100−nf0⎦⎥⎥⎤