图形学基础——二维变换

简单的二维变换

• 模型变换

• 缩放矩阵

  等比缩放：
  $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}sx\\ sy\end{array}\right]$$
  非等比缩放：
  $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{s}_{x}x\\ s_{y}y\end{array}\right]$$

• 对称矩阵

• 按照$x$轴对称
  $$\left[\begin{array}{c}x\prime \\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-x\\ y\end{array}\right]$$

• 错切矩阵

  错切就是在纵坐标不变的情况下，横坐标根据纵坐标做不同的平移，就是将一个正方形的高度不变的情况下，将其拉成一个平行四边形
  $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+ay\\ y\end{array}\right]$$

• 旋转矩阵

  一般情况下，在没有任何其他规定时，我们默认旋转都是以坐标原点为中心，进行逆时针旋转，这对之后的计算有很大的影响。旋转矩阵如下：
  $$R_{\theta }==\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$
  当一个变换能够写成$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$，即${\mathbf{x}}^{\prime }=\mathbf{M}\mathbf{x}$时，我们称这个变换为线性变换。

• 平移变换

  平移变换很特殊，他无法写成类似上面的线性变换的形式，只能如下表示$$\begin{gathered} x^{\prime }=x+t_x \\ {y}^{\prime }=y+t_y \end{gathered}$$即$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right]$$的形式。因此，我们为了统一变换的表达式，引入了齐次坐标的概念。

• 齐次坐标

  我们将二维的点或者向量增加一个维度
  点$$(x,y,1{)}^T$$向量$$(x,y,0{)}^T$$
  这样的话，我们就可以将平移变换写成如下的形式：
  $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ x^{\prime }\\ w^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+t_x\\ y+t_y\\ 1\end{array}\right]$$
  这里为什么点是加1，而向量是加0呢，因为向量具有平移不变性，我们将向量通过平移变换后，结果仍然是原来的向量，即
  $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ x^{\prime }\\ w^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right]$$
  更深层次的理解是：
  两个向量相加，结果仍是向量：向量 + 向量 = 向量
  点与点相减，最后的结果是从起点指向终点的向量：点 - 点 = 向量
  点加向量，其实就是将这个点朝着向量的方向移动，结果依然是点：点 + 向量 = 点
  最后点加点的含义其实是两个点连线的中点，如果我们认为任意一个点$(x,y,w{)}^T$在二维中是$(x/w,y/w,1{)}^T,w\ne 0$，那么点+点最后的结果在齐次坐标下就是两个点的中点。
  那么，上述的所有变化（我们称之为仿射变换），在齐次坐标下就可以写成如下形式： $$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a& b& t_x\\ c& d& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$
  缩放矩阵：$$\mathbf{S}(s_x,s_y)=\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  旋转矩阵：$$\mathbf{R}(\alpha )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  平移矩阵：$$\mathbf{T}(t_x,t_y)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  在仿射变换下，矩阵的最后一行都是$(0,0,1)$，但是在其他的情况下，最后一行是有意义的，这点要注意。

• 逆变换

  逆变换就是将变换反过来操作一遍，在线性代数中，逆变换就是乘以变换的逆矩阵。

• 平移与旋转变换的顺序

  当进行复杂的变换时，我们先进行旋转变换，再进行平移变换，不然结果会不一样。通过矩阵的乘法，我们可以知道，矩阵的乘法是不满足交换律的，所以变换的顺序不一样时，结果就会不一样。因为旋转时，我们默认是以原点为圆心进行旋转，如果先平移，那么就会与原先旋转的原点不一样了，结果就会不对。
  所以，当我们需要将一个点或者向量按照非原点进行旋转时，我们可以先将这个点或者向量平移到原点，再进行旋转，再将旋转完的点或者向量进行之前平移的逆变换。
  矩阵形式可以写成
  $$\mathbf{T}(\mathbf{c})\cdot \mathbf{R}(\alpha )\cdot \mathbf{T}(-\mathbf{c})$$
  注意矩阵是以左乘的形式进行计算的，所以这里的操作是先将向量移动 $-c$ 的距离到原点，再进行旋转，最后再移动 $c$ 的距离到原来的位置。