鲸鱼优化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）

一、算法灵感

  鲸鱼优化算法(Whale Optimization Algorithm, WOA)是2016年提出的一种元启发式优化算法，其灵感来自于座头鲸的狩猎行为。通过模拟随机或最佳个体捕食猎物的狩猎行为，研究者发现鲸鱼的气泡网捕食法可以分为两种，并将它们命名为“向上螺旋策略”和“双螺旋策略”。“向上螺旋策略”中，座头鲸会先下潜约12米，然后开始在螺旋中制造泡泡，并向水面游去。“双螺旋策略”包括三个不同的环节：珊瑚环节、鲸尾拍打水面环节和捕获环节。在WOA算法中只模拟了“向上螺旋策略”，并使用螺旋模拟座头鲸的气泡网捕食法，如图1所示。

图1 鲸鱼的气泡网捕食示意图

二、算法介绍

2.1 初始化

  在WOA中，初始化鲸鱼种群位置的计算公式如下：
$$X_i=lb+rand\times (ub-lb)\text{\hspace{1em}(1)}$$式中，$X_i$ 为个体 $i$ 的位置，$lb$ 和 $ub$ 是搜索空间的下界和上界，$rand$ 为 $0$ 到 $1$ 之间的随机数。

2.2 包围猎物阶段

  在现实中座头鲸能够识别猎物的位置并将其围成一圈。但由于在搜索空间中的最优位置是未知的，因此，WOA算法假设当前最佳候选解位置为目标猎物位置。在定义了目标猎物位置后，其他鲸鱼将进行尝试包围到目标猎物的位置。该过程的计算公式如下：
$$X\left(t+1\right)=X^{\ast }\left(t\right)-A\times D\text{\hspace{1em}(2)}$$$$A=2\times a\times rand-a\text{\hspace{1em}(3)}$$$$D=\left|C\times X^{\ast }\left(t\right)-X\left(t\right)\right|\text{\hspace{1em}(4)}$$$$C=2\times rand\text{\hspace{1em}(5)}$$其中，$t$ 为当前迭代次数，$A$ 和 $C$ 为系数，$X$ 是当前解的位置，$X^{\ast }$ 是当前最优解的位置，$a$ 在迭代过程中逐渐从 $2$ 减小至 $0$。
  图2(a)展示了式(2)在应对二维问题时，通过调整A和C可以到达当前最优解周围的不同位置。图2(b)展示了式(2)在应对三维问题时，通过随机变量 $rand$，可以达到当前最优解周围的不同位置。从而模拟了鲸鱼包围猎物。

图2 鲸鱼下一个可能的位置

2.3 气泡网捕食法

2.3.1 收缩包围

  通过降低 $a$ 的值来实现收缩包围，由于 $A$ 的范围为 $[-a,a]$。因此，当a减小时，$A$ 的波动范围也会缩小。图3(a)展示了在二维空间中 $0\le A\le 1$ 时从 $(X,Y)$ 到 $(X^{\ast },Y^{\ast })$ 的所有可能位置。该机制本质上与包围猎物阶段相同。

2.3.2 螺旋更新

图3 鲸鱼的气泡网捕食示意图

  如图3(b)所示，该方法首先计算 $(X,Y)$ 到 $(X^{\ast },Y^{\ast })$ 之间的距离，然后使用螺旋更新公式(6)来模拟鲸鱼的螺旋前进。
$$X\left(t+1\right)=D^{\ast }\times e^{bl}\times \cos \left(2\pi l\right)+X^{\ast }\left(t\right)\text{\hspace{1em}(6)}$$$$D^{\ast }=\left|X^{\ast }\left(t\right)-X\left(t\right)\right|\text{\hspace{1em}(7)}$$其中，$D^{\ast }$ 表示第 $i$ 个个体与最优个体之间的距离，$b$ 为常数，用于定义对数螺线的形状，$l$ 为 $[-1,1]$ 之间的随机数。
  为了同时模拟鲸鱼的收缩包围机制和螺旋更新机制，假设这两种机制执行的概率相等，可以用数学表达式表示如下：
$$X\left(t+1\right)=\{\begin{array}{rl}& X^{\ast }\left(t\right)-A\times D,ifrand<0.5\\ & D^{\ast }\times e^{bl}\times \cos \left(2\pi l\right)+X^{\ast }\left(t\right),other\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$

2.4 搜索猎物

图4 鲸鱼下一个可能的位置

  除了气泡网捕食法，座头鲸还会随机寻找猎物，同样通过改变 $A$ 的值来实现。当 $A$ 的绝对值大于 $1$ 时，鲸鱼将会远离目标猎物，如图4所示。与气泡网捕食阶段相反，这里将随机选择一个个体的位置作为参考来更新下一个位置，而不是目前为止最优的个体位置。该阶段相当于探索阶段。数学公式如下：
$$X\left(t+1\right)=X_{rand}-A\times D\text{\hspace{1em}(9)}$$$$D=\left|C\times X_{rand}-X\right|\text{\hspace{1em}(10)}$$其中，$X_{rand}$为随机一条鲸鱼的位置。

2.5 WOA的伪代码

1. 初始化鲸鱼数量 $N$ 和最大迭代次数 $T$ 等
2. 初始化种群：$X_i(i=1,2,...,N)$
3. While $t<T$ do
4.   检查是否有鲸鱼超出了搜索空间并进行修改
5.   计算每条鲸鱼的饥饿值(适应度值)，并找到吃的最饱的鲸鱼 $X^{\ast }$
6.   For $i=1$ to $N$ do
7.     更新 $a$，$A$，$C$，$l$
8.     If $rand<0.5$ then
9.       If $|A|<1$ then
10.         使用公式(2)执行收缩包围策略
11.       Else
12.         使用公式(9)执行搜索猎物策略
13.       End If
14.     Else
15.       使用公式(6)执行螺旋更新策略
16.     End If
17.   End For
18.   $t=t+1$
19. End While
20. 返回吃的最饱的鲸鱼(最优解) $X^{\ast }$

三、实验结果

WOA在23个经典测试函数(设置维度 $dim=30$)的F1、F5、F8中的收敛曲线，测试函数公式如下：

函数	公式	理论值
F1	$$F_1(x)={\sum }_{i=1}^n{x}_i^2$$	$0.00$
F5	$$F_5(x)={\sum }_{i=1}^{n-1}[100{(x_{i+1}-x_i^2)}^2+{(x_i-1)}^2]$$	$0.00$
F8	$$F_8(x)={\sum }_{i=1}^n-x_i\sin (\sqrt{|x_i|})$$	$-418.9829\times dim$

3.1 F1收敛曲线

3.2 F5收敛曲线

3.3 F8收敛曲线

四、参考文献

[1] Seyedali Mirjalili, Andrew Lewis. The Whale Optimization Algorithm[J]. Advances in Engineering Software. 2016, 95, 51-67.