白鲸优化算法（Beluga whale optimization，BWO）

一、算法灵感

  白鲸优化算法(Beluga whale optimization, BWO)是2022年提出的一种元启发式优化算法，其灵感来源于白鲸的生活行为。白鲸以成年鲸的纯白色而闻名，是高度群居的动物，它们可以成群聚集，有2到25个成员，平均有10个成员。与其他元启发式方法类似，BWO包含探索阶段和开发阶段，此外该算法还模拟了生物界中存在的鲸落现象。

二、算法介绍

2.1 初始化

  探索阶段通过随机选择白鲸，保证了设计空间中的全局搜索能力，开发阶段控制着设计空间中的局部搜索。为了模拟行为，白鲸被视为搜索代理，通过改变位置向量在搜索空间中移动。此外，在BWO中考虑了鲸鱼坠落的概率，它改变了白鲸的位置。
  由于BWO基于种群的机制，白鲸被视为搜索代理，而每条白鲸都是一个候选解决方案，并在优化过程中进行更新。矩阵到搜索代理位置的矩阵被建模为：
$$X=\left[\begin{array}{rlrl}{x}_{1,1}& x_{1,2}& ...& x_{1,d}\\ x_{2,1}& x_{2,2}& ...& x_{2,d}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ x_{n,1}& x_{n,2}& ...& x_{n,d}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，$n$ 为白鲸的种群大小，$d$ 为设计变量的维数。对于所有的白鲸，相应的适应度值存储如下：
$$F_X=\left[\begin{array}{r}f(x_{1,1},x_{1,2},...,x_{1,d})\\ f(x_{2,1},x_{2,2},...,x_{2,d})\\ ⋮\\ f(x_{n,1},x_{n,2},...,x_{n,d})\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$  BWO算法可以从探索转向开发，这取决于平衡因子 $B_f$ ，其数学模型为：
$$B_f=B_0(1-\frac{t}{2T})\text{\hspace{1em}(3)}$$其中，$t$ 为当前迭代，$T$ 为最大迭代数，$B_0$ 在每次迭代时在 $(0,1)$ 之间随机变化。勘探阶段发生在平衡因子 $B_f>0.5$ ，而开发阶段发生在 $B_f$ ≤0.5。随着迭代 $T$ 的增加，$B_f$ 的波动范围从 $(0,1)$ 减小到 $(0,0.5)$，说明开发和勘探阶段的概率发生了显著变化，而开发阶段的概率随着迭代 $T$ 的不断增加而增加。

2.2 探索阶段

  BWO的探索阶段是通过考虑白鲸的游泳行为来建立的。白鲸可以在不同的姿势下进行社会性行为，如两对白鲸以同步或镜像的方式紧密地游泳。因此，搜索代理的位置由一对白鲸的游泳决定，白鲸的位置更新如下：
$$\{\begin{array}{rlrl}& X_{i,j}^{t+1}=X_{i,p_j}^t+(X_{r,p_1}^t-X_{i,p_j}^t)(1+r_1)sin(2\pi r_2)& & ,j=even\\ & X_{i,j}^{t+1}=X_{i,p_j}^t+(X_{r,p_1}^t-X_{i,p_j}^t)(1+r_1)\cos (2\pi r_2)& & ,j=odd\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$其中，$t$ 为当前迭代次数，$X_{i,j}^{t+1}$ 是第 $i$ 条白鲸在第 $j$ 维上的新位置，$P_j(j=\mathrm{12...},d)$ 是从 $d$ 维中随机选择的，$X_{i,j}^t$ 是第 $i$ 条白鲸在 $j$ 维度上的位置，$X_{i,p_j}^t$ 和 $X_{r,p_1}^t$ 是第 $i$ 和第 $r$ 条白鲸( $r$ 代表随机选择的白鲸)的当前位置，$r_1$ 和 $r_2$ 是范围在 $(0,1)$ 的随机数，用于增强勘探阶段的随机算子。$sin(2\pi r_2)$ 和 $cos(2\pi r_2)$ 用于平均鱼鳍之间的随机数。根据奇数和偶数选择的维度，更新后的位置反映了白鲸在游泳或潜水时的同步或镜像行为。

2.3 开发阶段

  BWO的开发阶段的灵感来自于白鲸的捕食行为。白鲸可以根据相邻白鲸的位置，合作觅食和移动。因此，白鲸通过分享彼此的位置信息来猎物，考虑最好的候选解和其他解。在BWO的开发阶段引入了Levy飞行的策略，以提高收敛性。我们假设它们可以用Levy飞行策略捕捉猎物，其数学模型表示为：
$$X_i^{t+1}=r_3{X}_{best}^t-r_4{X}_i^t+C_1\cdot L_F\cdot (X_r^t-X_i^t)\text{\hspace{1em}(5)}$$其中，$T$ 为当前迭代次数，$X_i^t$ 和 $X_r^t$ 是第 $i$ 条白鲸和一条随机的白鲸的当前位置，$X_i^{t+1}$ 是第 $i$ 条白鲸的新位置，$X_{best}^t$ 是鲸鱼中最佳位置，$r_3$ 和 $r_4$ 是范围在 $(0,1)$ 的随机数，$C_1=2r_4(1-t/T_{max})$ 用于测量Levy飞行强度的随机跳跃强度。
   $L_F$ 为Levy飞行函数，其计算方法如下：
$$L_F=0.05\times \frac{u\times \sigma }{{\left|v\right|}^{1/\beta }}\text{\hspace{1em}(6)}$$$$\sigma ={\left(\frac{\Gamma (1+\beta )\times sin(\pi \beta /2)}{\Gamma ((1+\beta )/2)\times \beta \times 2^{(\beta -1)/2}}\right)}^{1/\beta }\text{\hspace{1em}(7)}$$其中，$u$ 和 $v$ 是正态分布的随机数，$\beta$ 是默认的常数，等于 $1.5$。

2.4 鲸落阶段

  在迁徙和觅食的过程中，白鲸受到了来自虎鲸、北极熊和人类的威胁。大多数白鲸都很聪明，可以通过彼此分享信息来逃避威胁。然而，少数白鲸没有幸存下来，掉进了海底。这种现象被称为“鲸鱼坠落”，喂养了大量的生物。大量的鲨鱼和无脊椎动物聚集在一起喂养鲸鱼的尸体，暴露的死鲸鱼的骨头和尸体吸引了大量的毛发甲壳类动物。最后，骨骼被细菌和珊瑚分解或占据了几十年。
  为了模拟每次迭代中鲸落的行为，我们选择鲸鱼从种群中掉落的概率作为我们主观的假设，以此模拟群体中的微小变化。我们假设这些白鲸要么转移到其他地方，要么被击落并掉入深海。为了保证种群数量不变，我们利用白鲸的位置和鲸鱼下降的步长来建立更新的位置。该数学模型表示为：
$$X_i^{t+1}=r_5{X}_i^t-r_6{X}_r^t+r_7{X}_{step}\text{\hspace{1em}(8)}$$其中，$r_5$ 、$r_6$ 和 $r_7$ 是 $(0,1)$ 之间的随机数，$X_{step}$ 是鲸鱼坠落的步长，确定为：
$$X_{step}=(u_b-l_b)exp(-C_2\frac{t}{T})\text{\hspace{1em}(9)}$$其中，$C_2$ 为与鲸鱼下降概率和种群大小相关的步长因子( $C_2=2W_f\times n$ )，$ub$ 和 $lb$ 分别为变量的上界和下界。可以看出，步长受设计变量、迭代次数和最大迭代数的边界的影响。
  在这个模型中，鲸鱼坠落的概率( $W_f$ )被计算为一个线性函数：
$$W_f=0.1-0.05t/T\text{\hspace{1em}(10)}$$  鲸鱼坠落的概率从初始迭代的 $0.1$ 下降到最后一次迭代的 $0.05$，说明当白鲸在优化过程中更接近食物源时，白鲸的危险降低。

2.5 算法伪代码

1. 设置参数:种群的数量 $N$ 最大的迭代次数 $T$
2. 初始化种群，评估适应度值，得到最优解( $P^{\ast }$)
3. While $t\le T$ do
4.   由式(10)得到鲸鱼坠落概率 $W_f$ ，由式(3)得到平衡因子 $B_f$
5.   For $i=1$ to $N$ do
6.     If $B_f(i)>0.5$ then
7.       使用公式(4)更新第 $i$ 个白鲸的新位置
8.     Else If $B_f(i)\le 0.5$ then
9.       更新随机跳跃强度 $C_1$，计算Levy飞行函数
10.       使用公式(5)更新第 $i$ 个白鲸的新位置
11.     End If
12.     检查新位置的边界，并评估适合度值
13.   End For
14.   For $i=1$ to $N$ do
15.     If $B_f(i)<=W_f$ then
16.       使用公式(8)更新第 $i$ 个白鲸的新位置
17.       检查新位置的边界，并评估适合度值
18.     End If
19.   End For
20.   求当前最优解 $P^{\ast }$
21.   $t=t+1$
22. End While
23. 输出最佳解 $P^{\ast }$

三、实验结果

  BWO在23个经典测试函数(设置维度 $dim=30$)的F5、F6、F7中的收敛曲线，测试函数公式如下：

函数	公式	理论值
F5	$$F_5(x)={\sum }_{i=1}^{d-1}[100{(x_{i+1}-x_i^2)}^2+{(x_i-1)}^2]$$	$0.00$
F6	$$F_6(x)={\sum }_{i=1}^d{(x_i+5)}^2$$	$0.00$
F7	$$F_7(x)={\sum }_{i=1}^{d}i\times x_i^4+random[0,1)$$	$0.00$

3.1 F5收敛曲线

3.2 F6收敛曲线

3.3 F7收敛曲线

四、参考文献

[1] Zhong C, Li G, Meng Z. Beluga whale optimization: A novel nature-inspired metaheuristic algorithm[J]. Knowledge-Based Systems, 2022, 109215.