矮猫鼬优化算法（Dwarf Mongoose Optimization Algorithm，DMO）

一、算法灵感

  矮猫鼬优化算法(Dwarf Mongoose Optimization Algorithm，DMO)是由Jeffrey O. Agushaka等人于2022年提出的一种群体智能优化算法，其灵感来源于矮猫鼬的群体觅食行为。矮猫鼬通常生活在一个母系社会的家族群体中，主要有觅食、侦察和保姆三种社会职能。矮猫鼬以集体觅食和侦察而闻名，由雌性首领引导种群进行食物源的搜寻。一旦满足保姆交换条件，即当阿尔法组未能寻找到合适的食物时，将交换阿尔法组和保姆组的成员，且阿尔法组同时进行觅食和寻找睡眠丘。

二、算法介绍

2.1 初始化

  DMO优化从初始化矮猫鼬候选种群开始，种群在给定问题的上界和下界之间随机生成。公式如下：
$$X=\left[\begin{array}{rlrlrl}& x_{1,1}& x_{1,2}& \dots & x_{1,d-1}& x_{1,d}\\ & x_{2,1}& x_{2,2}& \dots & x_{2,d-1}& x_{2,d}\\ & ⋮& ⋮& x_{i,j}& ⋮& ⋮\\ & x_{N,1}& x_{N,2}& \dots & x_{N,d-1}& x_{N,d}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，$X$ 是当前候选解的集合，它们是通过式(2)随机生成的，$x_{i,j}$ 表示第 $i$ 个个体在第 $j$ 维的位置，$N$ 表示种群大小，阿尔法组的个体数量为 $n^{\prime }$，$bs$ 为保姆的数量，$d$ 表示问题的维数。
$$x_{i,j}=unifrnd\left(lb,ub,VarSize\right)\text{\hspace{1em}(2)}$$式中，$unifrnd$ 是均匀分布的随机数，$ub$ 和 $lb$ 分别为搜索空间的上界和下界。$VarSize$ 表示决策变量的大小。每次迭代中的最优解就是到目前为止获得的最佳解。

2.2 阿尔法组

2.2.1 雌性首领的产生

  雌性首领在阿尔法组中产生，阿尔法组中每个雌性个体成为首领的概率为 $\alpha$，计算公式如下：
$$\alpha =\frac{fi{t}_i}{\sum _{i=1}^{N}fi{t}_i}\text{\hspace{1em}(3)}$$其中，$fi{t}_i$ 是第 $i$ 个个体的适应度。

2.2.2 阿尔法组成员觅食

  阿尔法组成员将共行并进行觅食，食物源的候选位置由式(4)给出：
$$X_{i+1}=X_i+phi\times peep\times (X_i-X_{rand})\text{\hspace{1em}(4)}$$其中，$X_{i+1}$ 是找到的新食物源位置，$X_i$ 为雌性首领当前的位置，$phi$ 是均匀分布在 $[-1,1]$ 之间的随机数，$peep$ 选取为 $2$，$X_{rand}$ 是阿尔法组中的随机个体。

2.3 保姆交换条件

  保姆交换条件是用于重置阿尔法组和保姆组中的猫鼬个体。当阿尔法组成员未能搜寻到合适的食物时，认为阿尔法组成员能力不足，将交换阿尔法组和保姆组的成员。交换条件满足后，阿尔法组将同时进行觅食和寻找睡眠丘，计算公式如下：
$$X_b=lb+rand\ast (ub-lb)\text{\hspace{1em}(5)}$$其中，$X_b$ 为交换后个体的新位置，$rand$ 是 $0$ 到 $1$ 之间的随机数。
  保姆交换后的觅食行为由公式(4)实现。睡眠丘是猫鼬休息的场所，而猫鼬不会回到之前的睡眠丘，这种生活模式能够避免搜索区域被过度开发的问题。新搜寻到的睡眠丘的数学模型如下：
$$X_{sm}=\left\{\begin{array}{rlr}{X}_i-CF\ast phi\ast rand\ast \left[X_i-\overrightarrow{M}\right]& if& {\phi }_{i+1}>{\phi }_i\\ X_i+CF\ast phi\ast rand\ast \left[X_i-\overrightarrow{M}\right]& & else\end{array}\right\}\text{\hspace{1em}(6)}$$其中，$X_{sm}$ 为新的睡眠丘的位置，$\overrightarrow{M}$ 是决定猫鼬移动到新睡眠丘的方向向量，$\phi$ 是睡眠丘的平均值，计算公式如下：
$$\overrightarrow{M}=\sum _{i=1}^N\frac{X_i\times s{m}_i}{X_i}\text{\hspace{1em}(7)}$$$$\phi =\frac{\sum _{i=1}^{N}s{m}_i}{n}\text{\hspace{1em}(8)}$$其中，$s{m}_i$ 代表睡眠丘值：
s m i = f i t i + 1 − f i t i max ⁡ { ∣ f i t i + 1 , f i t i ∣ } (9) s{m_i} = { {fi{t_{i + 1}} - fi{t_i}} \over {\max \left\{ {\left| {fi{t_{i + 1}},fi{t_i}} \right|} \right\}}}\tag{9} smi​=max{ ∣fiti+1​,fiti​∣}fiti+1​−fiti​​(9)  $CF$ 表示猫鼬种群移动能力的参数，它会随着迭代次数线性递减，计算公式如下：
$$CF={\left(1-\frac{t}{T}\right)}^{\left(2t/T\right)}\text{\hspace{1em}(10)}$$其中，$t$ 为当前迭代次数，$T$ 为最大迭代次数。

2.4 DMO的算法伪代码

1. 初始化算法参数 $peep$、猫鼬种群规模 $N$、保姆数量 $bs$，等
2. 设置 $n^{\prime }=N-bs$
3. 设置保姆交换参数 $L$
4. While $t<T$ do
5.   计算猫鼬的适应度
6.   设置交换计数器 $C$
7.   计算个体成为首领的概率 $\alpha$ 根据公式(3)
8.   生成一个食物源的候选位置根据公式(4)
9.   计算找到的食物源新位置 $X_{i+1}$ 的适应度
10.   计算评估睡眠丘值根据公式(9)
11.   计算睡眠丘值的平均值根据公式(8)
12.   计算移动向量根据公式(7)
13.   If $C\ge L$ then
14.     初始化保姆的位置根据公式(1)并计算适应度
15.     阿尔法组寻找新睡眠丘根据公式(6)
16.   End If
17.   更新目前最优解
18. End While
19. 返回最优解

三、实验结果

DMO在23个经典测试函数(设置维度 $dim=30$)的F1、F5、F8中的收敛曲线，测试函数公式如下：

函数	公式	理论值
F1	$$F_1(x)={\sum }_{i=1}^n{x}_i^2$$	$0.00$
F11	$$F_{11}(x)=\frac{1}{400}{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-{\Pi }_{i=1}^n\cos (\frac{x_i}{\sqrt{i}})+1$$	$0.00$
F21	$$F_{21}(x)=-{\sum }_{i=1}^5{[(X-a_i){(X-a_i)}^T+c_i]}^{-1}$$	$-10.1532$

3.1 F1收敛曲线

3.2 F11收敛曲线

3.3 F21收敛曲线

四、参考文献

[1] Agushaka J. O., Ezugwu A. E., Abualigag L. Dwarf mongoose optimization algorithm[J]. Computer methods in applied mechanics and engineering, 2022, 391, 114570.