《阵列信号处理及MATLAB实现》阵列协方差矩阵特征分解、信源数估计算法

2.8 阵列协方差矩阵的特征分解

在实际处理中，我们通常得到的数据是在有限时间范围内的有限快拍次数。这段时间内假定空间源信号的方向不发生变化，或者空间源信号的包络虽然随时间变化，但通常认为它是一个平稳随机过程，其统计特性不随时间变化。这样可以定义阵列输出信号X(t)的协方差矩阵为：

$R=E\begin{Bmatrix}[X(t)-m_x(t)][X(t)-m_x(t)]^H\end{}$

其中， $m_x(t)=E[X(t)]=0$ ，则有：

$R=E\begin{Bmatrix}X(t)X(t)^H \end{}=E\begin{Bmatrix}[A(\theta)S(t)+N(t)][A(\theta)S(t)+N(t)]^H \end{}$

此外，还有以下几个条件必须满足。

(1) M>K，即阵元个数M要大于该阵列系统可能接受到的空间信号个数（信号源个数）

(2) 对应于不同的信号来向 $\theta_i(i=1,2,...,K)$ ，信号的方向向量 $\vec a(\theta_i)$ 是线性独立的

(3) 阵列中噪声N(t)过程，具有高斯分布特性，而且

$E\begin{Bmatrix}N(t)\end{}=0$

$E\begin{Bmatrix}N(t)N^H(t)\end{}=\sigma^2I$

$E\begin{Bmatrix}N(t)N^T(t)\end{}=0$

其中 $\sigma^2$ 表示噪声功率

(4) 空间源信号向量 $S(t)$ 的协方差矩阵 $R_s=E\begin{Bmatrix}S(t)S^H(t) \end{}$ 是对角非奇异阵，这表明空间源信号是不相干的。

由以上各式，可以得出： $R=A(\theta)R_sA^H(\theta)+\sigma^2I$ ，可以证明R是非奇异的；且 $R^H=R$ ，因此R为正定Hermitain方阵，若利用酉变换实现对角化，其相似对角阵是由M个不同的正实数组成，与之对应的M个特征向量是线性独立的。因此，R的特征分解可以写为：

$R=U\Sigma U^H=\sum_{i=1}^M\lambda_i\vec u_i\vec u_i^H$

其中， $\Sigma =diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_M)$ ，并且可以证明其特征值服从排序 $\lambda_1\geq ...\geq \lambda_K>\lambda_{K+1}=...=\lambda_M=\sigma^2$ 。即前K个特征值与信号有关，其数值大于 $\sigma^2$ ，这K个较大特征值 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_K$ 所对应的特征向量可以表示为 $\vec u_1,\vec u_2,...,\vec u_K$ ，他们构成信号子空间 $U_s$ ，记 $\Sigma _s$ 是K个较大特征值构成的对角阵；而后M-K个特征值完全取决于噪声，其数值均等于 $\sigma^2$ ， $\lambda_{K+1},\lambda_{K+2},...,\lambda_M$ 所对应的特征向量构成噪声子空间 $U_N$ ,而 $\Sigma _N$ 是由M-K个较小特征值构成的对角阵。

因此，可以将R分解为：

$R=U_S\Sigma _SU_S^H+U_N\Sigma _NU_N^H$

式中， $\Sigma _S$ 是较大特征值构成的对角阵， $\Sigma _N$ 是较小特征值组成的对角阵，即

$\Sigma _S=\begin{bmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & ...& \\ & & & \lambda_K\\ \end{bmatrix},\Sigma _N=\begin{bmatrix} \lambda_{K+1} & & & \\ & \lambda_{K+2} & & \\ & & ...& \\ & & & \lambda_M\\ \end{bmatrix}$

显然当空间噪声为白噪声时，有 $\Sigma _N=\sigma^2I_{(M-K)\times(M-K)}$

下面给出在信号源独立条件下关于特征子空间的一些性质，这也为后续的空间谱估计算法及其理论分析做准备。

性质2.8.1 协方差矩阵的大特征值对应的特征矢量张成的空间与入射信号的导向矢量张成的空间是同一个空间，即： $span\begin{Bmatrix}\vec u_1,\vec u_2,...,\vec u_K \end{}=span\begin{Bmatrix}\vec a_1,\vec a_2,...,\vec a_K \end{}$

性质2.8.2 信号子空间 $U_S$ 与噪声子空间 $U_N$ 正交，且有 $A^H\vec u_i=0,i=K+1,...,M$

性质2.8.3 信号子空间 $U_S$ 与噪声子空间 $U_N$ 满足：

$U_SU_S^H+U_NU_N^H=I,U_S^HU_S=I,U_N^HU_N=I$

性质2.8.4 信号子空间 $U_S$ 与噪声子空间 $U_N$ 及阵列流行 $A$ 满足

$U_SU_S^H=A(A^HA)^{-1}A^H,U_NU_N^H=I-A(A^HA)^{-1}A^H$

性质2.8.5 定义 $\Sigma ^ {'}=\Sigma _S-\sigma^2I$ ，则有下式成立

$AR_SA^HU_S=U_S\Sigma ^{'}$

需要说明的是，在具体实现中，数据协方差矩阵用采样协方差矩阵 $\hat{R}$ 代替，即

$\hat{R}=\frac{1}{L}\sum_{l=1}^LX(t_l)X^H(t_l)$

式中，L表示数据的快拍数。对 $\hat{R}$ 进行特征分解可以计算得到噪声子空间 $\hat{U}_N$ ，信号子空间 $\hat{U}_S$ 及由特征值组成的对角矩阵 $\hat{\Sigma }$

2.9 信源数估计算法

阵列信号处理中大部分算法需要知道入射信号数。但在实际应用场合中，信号源数通常是一个未知数，往往需要先估计信号源的数目或者假设信号源数目已知，然后再估计信号源的方向。根据特征空间的分析可以知道，在一定条件下数据协方差矩阵的大特征值数等于信号源数，而其他的小特征值数是相等的（等于噪声功率）。这就说明可以直接根据数据协方差矩阵的大特征值来判断信号源数。

但在实际场合中，由于快拍数据、信噪比等限制，对实际得到的数据协方差矩阵进行特征分解后，不可能得到明显的大小特征值。很多学者提出了在信号数估计方面较为有效的方法，包括信息论方法、平滑秩法、矩阵分解法、盖氏圆方法和正则相关法等。

2.9.1 特征值分解方法

存在观测噪声时，接收信号模型为 $X=AS+N$ ， $\hat{R}$ 表示有观测噪声时混合信号的协方差矩阵，即：

$\hat{R}=XX^H/L=R+R_N$

其中， $R=AE[\vec x(t)\vec x(t)^H]A^H,R_N=\sigma^2I$ ， $\sigma^2$ 为噪声功率。容易验证，若 $\lambda_1\geq \lambda_2\geq...\geq\lambda_K>\lambda_{K+1}=...=\lambda_M=0$ 为R的M个特征值，而