《阵列信号处理及MATLAB实现》绪论、矩阵代数相关内容总结笔记

第一章绪论

1.1 研究背景

1.1.1 阵列信号处理简介：

将一组传感器按照一定方式布置在空间的不同位置，形成传感器阵列。用传感器阵列来接收空间信号，相当于对空间分布的场信号采样，得到信号源的空间离散观测数据。通过对阵列接受的信号进行处理，增强有用信号，抑制干扰或者噪音，并提取有用的信号特征及信号包含的信息。

1.1.2 阵列信号处理研究方向：

1.波束形成技术——使阵列天线方向图的主瓣指向所需的方向，并将干扰置零。

2.空间谱估计——对空间信号波达方向的分布进行超分辨估计。

3.信号源定位——确定阵列到信源的仰角、方位角、频率、时延、距离等。

4.信源分离——确定各个信源发射的信号波形。各个信源从不同方向到达阵列，这使得这些信号波形得以分离，即使他们在时域和频域是叠加的。

第二章阵列信号处理基础

2.1 矩阵代数相关知识

2.1.1 特征值与特征向量

$A\in\mathbb{C}^{n\times n},\vec e\in\mathbb{C}^n$ ，若标量 $\lambda$ 和非零向量 $\vec e$ 满足方程：

$A\vec e = \lambda\vec e,\vec e \neq 0$

则称标量 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值，非零向量 $\vec e$ 为与 $\lambda$ 对应的特征向量。特征值和特征向量总是成对出现，称 $(\lambda,\vec e)$ 为矩阵 $A$ 的特征对，特征值可能为0，但特征向量一定非零。

2.1.2 广义特征值与广义特征向量

$A\in\mathbb{C}^{n\times n},\vec e\in\mathbb{C}^n$ ，若标量 $\lambda$ 和非零向量 $\vec e$ 满足方程：

$A\vec e = \lambda B \vec e,\vec e\neq 0$

则称标量 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 相对于矩阵 $B$ 的广义特征值，非零向量 $\vec e$ 为与 $\lambda$ 对应的广义特征向量。如果矩阵B非满秩，那么 $\lambda$ 可以是任意值（包括0）。当矩阵B为单位阵时，就成为了普通特征值问题。

2.1.3 矩阵的奇异值分解

对于复数矩阵 $A_{m\times n}$ ，称 $A^{H}A$ 的n个特征根 $\lambda_{i}$ 的算术根 $\sigma_{i}=\sqrt{\lambda_{i}}(i=1,2,...,n)$ 为 $A$ 的奇异值。其中上标H表示矩阵的共轭转置。

若记矩阵 $\sum=diag(\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_r)$ ，其中 $\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_r$ 是 $A$ 的全部非零奇异值，则称mxn矩阵S为A的奇异值矩阵。

$S = \begin{bmatrix} \sum&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$

奇异值分解定理：

对于mxn维矩阵A，则分别存在一个mxm维酉矩阵U和一个nxn维酉矩阵V，使得

$A = U\sum V^H$

2.1.4 Toeplitz矩阵

定义：具有以下形式的2n-1个元素的n阶矩阵称为Toeplitz矩阵，简称T矩阵

$A = \begin{bmatrix} a_0&a_{-1} &a_{-2} &... &a_{-n+1} \\ a_1&a_0 &a_{-1} &... &a_{-n+2} \\ a_{2}&a_1 &a_0 &... &a_{-n+3} \\ ...& ...&... &... &... \\ a_{n-1}&a_{n-2} &a_{n-3} &... &a_0 \end{bmatrix}$

T矩阵完全由第一行和第一列的2N-1个元素确定。托普利兹矩阵的主对角线上的元素相等，平行于主对角线的线上的元素也相等；矩阵中的各元素关于次对角线对称

2.1.5 Hankel矩阵

定义：具有以下形式的n+1阶矩阵称为Hankel矩阵或正交对称矩阵

$H = \begin{bmatrix} a_0& a_1 &a_2 &... &a_n \\ a_1&a_2 &a_3 &... &a_{n+1} \\ a_2& a_3 &a_4 &... &a_{n+2} \\ ...&... &... &... &... \\ a_n& a_{n+1} &a_{n+2} &... &a_{2n} \end{bmatrix}$

可见Hankel矩阵完全由第一行和第n列的2n+1个元素确定。其中沿着所有垂直于主对角线的直线上有相同的元素。是每一条副对角线上的元素都相等的矩阵。

2.1.6 Vandermonde矩阵（范德蒙德矩阵）

定义具有以下形式的mxn阶矩阵

$V(a_1,a_2,...,a_n)=\begin{bmatrix} a_1 &a_2 &a_3 &... &a_n \\ a_1^2 &a_2^2 &a_3^2 &... &a_n^2 \\ a_1^3 &a_2^3 &a_3^3 &... &a_n^3 \\ ...& ...& ...& ...&... \\ a_1^{m-1} &a_2^{m-1} &a_3^{m-1} &... &a_n^{m-1} \end{bmatrix}$

称为范德蒙德矩阵。如果 $a_i \neq a_j$ ，那么V是非奇异的。

2.1.7 Hermitian矩阵（自共轭矩阵）

如果矩阵 $A_{n\times n}$ 满足：

$A = A^H$

那么A称为自共轭矩阵。自共轭矩阵有以下性质：

（1）所有特征值是实数

（2）对应于不同特征值的特征向量相互正交

（3）自共轭矩阵可分解为 $A = E\Lambda E^H=\sum_{i=1}^{n}\xi_{i}\vec e_{i} \vec e_{i}^{H}$ 的形式，这一分解称作谱定理，也就是矩阵A的特征值分解定理。其中 $\Lambda = diag(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n),E=[\vec e_1,\vec e_2,...,\vec e_n]$ 是由特征向量构成的酉矩阵。

2.1.8 Kronecker积（克罗内克积也被称为直积或张量积）

定义：矩阵 $A_{p\times q}$ 和矩阵 $B_{m\times n}$ 的Kronecker积记作 $A\otimes B$ ，他是一个pmxqn的矩阵，定义为：

$A\otimes B =\begin{bmatrix} a_{11}B &a_{12}B &... &a_{1q}B \\ a_{21}B &a_{22}B &... &a_{2q}B \\ ... &... &... &... \\ a_{p1}B &a_{p2}B &... &a_{pq}B \end{bmatrix}$

Kronecker积有一个重要性质，即： $U\in\mathbb{C}^{m\times n},V\in\mathbb{C}^{n\times p},W\in\mathbb{C}^{p\times q}$ ，以下等式成立：

$$vec$(UVW)=(W^T\otimes U)$vec$(V)$

其中，vec()为向量化算子， $A\in\mathbb{C}^{L\times R}$ ，且vec(A)形式为：

$\vec a=$vec$(A)=\begin{bmatrix} a_{1,1}\\ ...\\ a_{L,1}\\ ...\\ a_{1,R}\\ ...\\ a_{L,R} \end{bmatrix}=\mathbb{C}^{LR\times 1}$

Kronecker积具有如下一些性质：

$A\otimes(aB)=a(A\otimes B)$

$(A\otimes B)^T=A^T\otimes B^T$

$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C$

$A\otimes(B+C)=A\otimes B+A\otimes C$

$A\otimes (B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C$

$(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD$

$(A\otimes B)^+=A^+\otimes B^+$

$$vec$(AYB)=(B^T\otimes A)$vec$(Y)$

$$tr$(A\otimes B)=$tr$(A)$tr$(B)$

2.1.9 Khatri-Rao积（KR积）

考虑两个具有相同列数的矩阵 $A^{I\times F},B^{J\times F}$ ，他们的KR积 $A\odot B$ 为一个IJxF的矩阵，定义为：

$A\odot B=[\vec{a_1}\otimes\vec{b_1},...,\vec{a_F}\otimes\vec{b_F} ]=[$vec$(\vec{b_1}\vec{a_1}^T),...,$vec$(\vec{b_F}\vec{a_F}^T)]$

即KR积为两个矩阵对应列向量的Kronecker积。

KR积具有如下性质：

$A\odot (B\odot C) = (A\odot B)\odot C$

$(A+B)\odot C=A\odot C+B\odot C$

$A\odot B \neq B\odot A$

$(A\odot B)^T(A\odot B)=(A^TA)\oplus (B^TB)$

$(A\odot B)^+=[(A\odot B)^T(A\odot B)]^{-1}(A\odot B)^T=[(A^TA)\oplus (B^TB)]^{-1}(A\odot B)^T$

$([A\odot B]^T)^+ = (A\odot B)[(A^TA)\oplus (B^TB)]^{-1}$

令 $\vec{x}\in \mathbb{C}^R$ ,KR乘积具有性质：

$$unvec$((A\odot B)\vec x,J,I)=Bdiag(\vec x)A^T$

其中，unvec()是矩阵化算子，是vec()的逆运算：

$$unvec$(\vec a,I,R)=\begin{bmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &... &a_{1,R} \\ a_{2,1} &a_{2,2} &... &a_{2,R} \\ ... & ...& ...&... \\ a_{I,1} &a_{I,2} &... &a_{I,R} \end{bmatrix}=A$

而 $diag(\vec x)$ 表示一个对角矩阵，其元素为向量x中的元素。

2.1.10 Hadamard积

矩阵 $A \in \mathbb{C}^{I\times J},B \in \mathbb{C}^{I\times J}$ 的Hadamard积定义为：

$A\oplus B=\begin{bmatrix} a_{11}b_{11} &a_{12}b_{12} & ... &a_{1J}b_{1J} \\ a_{21}b_{21} &a_{22}b_{22} & ... &a_{2J}b_{2J} \\ ...& ...& ...&... \\ a_{I1}b_{I1} &a_{I2}b_{I2} & ... &a_{IJ}b_{IJ} \end{bmatrix}$