协方差、协方差矩阵的数学概念及算法计算

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在讲解协方差之前，我们先一起回忆一下样本的均值、方差、标准差的定义。

方差，协方差和协方差矩阵

1、概念

方差（Variance）是度量一组数据的分散程度。方差是各个样本与样本均值的差的平方和的均值： 

协方差（Covariance）是度量两个变量的变动的同步程度，也就是度量两个变量线性相关性程度。如果两个变量的协方差为0，则统计学上认为二者线性无关。注意两个无关的变量并非完全独立，只是没有线性相关性而已。计算公式如下： 

如果协方差大于0表示一个变量增大是另一个变量也会增大，即正相关，协方差小于0表示一个变量增大是另一个变量会减小，即负相关。 
协方差矩阵（Covariance matrix）由数据集中两两变量的协方差组成。矩阵的第(i,j)(i,j)个元素是数据集中第ii和第jj个元素的协方差。例如，三维数据的协方差矩阵如下所示： 

2、练习

计算下表数据的协方差矩阵：

 

Python代码如下：

可以由python中的numpy包计算均值和协方差：

import numpy as np
X = [[2, 0, -1.4],
    [2.2, 0.2, -1.5],
    [2.4, 0.1, -1],
    [1.9, 0, -1.2]]
print(np.mean(X,axis=0))
print(np.cov(np.array(X).T))

计算结果如下：