逻辑回归、激活函数sigmoid、损失及优化、案例代码实现

一、逻辑回归

逻辑回归（Logistic Regression）：是机器学习中的一种分类模型，是一种分类算法，与回归之间有一定的联系，由于算法的简单和高效，在实际中应用非常广泛

应用场景：广告点击率、是否为垃圾邮件、是否患病、金融诈骗、虚假账号等，特点是都属于两个类别之间的判断，逻辑回归是解决二分类问题的利器

原理：掌握逻辑回归，需知道输入值是什么以及如何判断其输出

输入是一个线性回归的结果

$h(w)=w_{1} x_{1}+w_{2} x_{2}+w_{3} x_{3} \ldots+\mathrm{b}$

二、激活函数

sigmoid函数，如图

$g\left(\theta^{T} x\right)=\frac{1}{1+e^{-\theta^{T} x}}$

逻辑回归最终的分类是通过属于某个类别的概率值来判断是否属于某个类别，且这个类别默认标记为1(正例)，另外的一个类别会标记为0(反例)，方便损失计算

判断标准

回归的结果输入到sigmoid函数当中
输出结果：[0, 1]区间中的一个概率值，默认为0.5为阈值

输出结果解释：假设有两个类别A，B，并且假设我们的概率值为属于A(1)这个类别的概率值，现在有一个样本的输入到逻辑回归输出结果0.6，那么这个概率值超过0.5，意味着我们训练或者预测的结果就是A(1)类别，反之，若得出结果为0.3，则训练或者预测结果就为B(0)类别

三、损失以及优化

3.1 损失

逻辑回归的损失，称之为对数似然损失，公式如下：

分开类别：

$\operatorname{cost}\left(h_{\theta}(x), y\right)=\left\{\begin{array}{ll} -\log \left(h_{\theta}(x)\right) & \text { if } \mathrm{y}=1 \\ -\log \left(1-h_{\theta}(x)\right) & \text { if } \mathrm{y}=0 \end{array}\right.$

综合完整损失函数

$\operatorname{cost}\left(h_{\theta}(x), y\right)=\sum_{i=1}^{m}-y_{i} \log \left(h_{\theta}(x)\right)-\left(1-y_{i}\right) \log \left(1-h_{\theta}(x)\right)$

代入计算如下

3.2 优化

使用梯度下降优化算法，去减少损失函数的值。这样去更新逻辑回归前面对应算法的权重参数，提升原本属于1类别的概率，降低原本是0类别的概率

四、逻辑回归API

sklearn.linear_model.LogisticRegression(solver='liblinear', penalty=‘l2’, C = 1.0)：solver为可选参数{'liblinear', 'sag', 'saga','newton-cg', 'lbfgs'}，默认: 'liblinear'；用于优化问题的算法
- 对于小数据集来说，“liblinear”是个不错的选择，而“sag”和'saga'对于大型数据集会更快
- 对于多类问题，只有'newton-cg'， 'sag'， 'saga'和'lbfgs'可以处理多项损失，“liblinear”仅限于“one-versus-rest”分类
- penalty：正则化的种类
- C：正则化力度

默认将类别数量少的当做正例，LogisticRegression方法相当于 SGDClassifier(loss="log", penalty=" ")，SGDClassifier实现了一个普通的随机梯度下降学习，而使用LogisticRegression(实现了SAG)

五、案例：良／恶性乳腺癌肿瘤分类预测

原始数据的下载地址：https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/

数据描述
- 699条样本，共11列数据，第一列用语检索的id，后9列分别是与肿瘤相关的医学特征，最后一列表示肿瘤类型的数值
- 包含16个缺失值，用”?”标出

操作使用如下

完整代码如下

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# import ssl # 证书问题
# ssl._create_default_https_context = ssl._create_unverified_context
# 1.获取数据
names = ['Sample code number', 'Clump Thickness', 'Uniformity of Cell Size', 'Uniformity of Cell Shape',
                   'Marginal Adhesion', 'Single Epithelial Cell Size', 'Bare Nuclei', 'Bland Chromatin',
                   'Normal Nucleoli', 'Mitoses', 'Class']

data = pd.read_csv("https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/breast-cancer-wisconsin/breast-cancer-wisconsin.data",
                  names=names)
data.head()
--------------------------------------------
data.describe()

# 2.基本数据处理
# 2.1 缺失值处理
data = data.replace(to_replace="?", value=np.NaN)
data = data.dropna()  # 删除NAN值
data.describe()
--------------------------------------------
# 2.2 确定特征值,目标值
x = data.iloc[:, 1:10]
x.head()
y = data["Class"]
y.head()
--------------------------------------------
# 2.3 分割数据
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, random_state=22, test_size=0.2)
x_train.head()
--------------------------------------------
# 3.特征工程(标准化)
transfer = StandardScaler()
x_train = transfer.fit_transform(x_train)
x_test = transfer.transform(x_test)
x_train
--------------------------------------------
# 4.机器学习(逻辑回归)
estimator = LogisticRegression()
estimator.fit(x_train, y_train)
--------------------------------------------
# 5.模型评估
y_predict = estimator.predict(x_test)
score = estimator.score(x_test, y_test)
print('预测值为:', y_predict, '\n准确率为:', score)

输出

预测值为: [2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 4 2 4 2 4 4 4 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4
 2 2 2 2 4 2 4 4 4 4 2 4 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 4 4 4 2 4 2 2 4 2 2 2 2 4
 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 4 4 4 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 4 4 2
 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 2 2] 
准确率为: 0.9854014598540146

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