切比雪夫（Chebyshev）不等式

标准化

设随机变量x具有数学期望$E(x)=\mu$，方差$D(x)={\sigma }^2$。记$X^{\ast }=\frac{X-\mu }{\sigma }$, 则X*的期望和方差为：$$E(X^{\ast })=\frac{1}{\sigma }E(X-\mu )=\frac{1}{\sigma }[E(X)-\mu ]=0$$$$D(X^{\ast })=E(X^{\ast 2})-[E(X^{\ast }{)}^2]=E[\frac{(x-\mu {)}^2}{\sigma }]=\frac{1}{{\sigma }^2}E[(X-\mu {)}^2]=\frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2}=1$$
即$X^{\ast }$的数学期望为0，方差为1。
$X^{\ast }$为X的标准化变量，即一般的正态分布经标准化后，服从N(0,1)的标准正态分布。

切比雪夫不等式

如果随机变量X的期望μ和方差σ存在，则对任意ϵ >0,有
P { ∣ X − μ ∣ ≥ ε } ≤ σ 2 ε 2 P\left \{ |X-\mu |\ge\varepsilon \right \} \le \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon^{2}} P{ ∣X−μ∣≥ε}≤ε2σ2​
该不等式称为切比雪夫不等式，也可以等价写为：
P { ∣ X − μ ∣ < ε } ≥ 1 − σ 2 ε 2 P\left \{ |X-\mu |< \varepsilon \right \} \ge 1- \frac{\sigma ^{2}}{\varepsilon^{2}} P{ ∣X−μ∣<ε}≥1−ε2σ2​
例如当$\epsilon$取3$\sigma$时，有 P { ∣ X − μ ∣ < 3 σ } ≥ 1 − 1 9 ≈ 88.89 % P\left \{ |X-\mu |< 3\sigma \right \} \ge 1- \frac{1}{9} \approx 88.89\% P{ ∣X−μ∣<3σ}≥1−91​≈88.89%
对于该不等式，描绘了如下性质：

1. 随机时间大多会集中在平均值附件
2. 若${\sigma }^2越小，则事件$ P { ∣ X − μ ∣ < ε } P\left \{ |X-\mu|< \varepsilon \right \} P{ ∣X−μ∣<ε} 的概率越大,即随机变量X集中在期望附件的可能性就越大，由此可见方差确实刻画了随件变量的离散程度
3. 当方差已知时，X与他的期望值偏差不小于$\epsilon$的概率估计式，如上取3$\sigma$, 则超出范围的概率约为0.111。
   4. 随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差， 即可对X的概率分布进行估计。

例如一班有 36 个学生，在一次考试中，平均分是 80 分，标准差是 10 分，我们便 可以得出结论.
少于 50 分(与平均相差3个标准差以上)的人数不多于4（36*0.111）个 P { ∣ X − 80 ∣ ≥ 30 } ≤ 1 9 ≈ 0.111 P\left \{ |X-80|\ge30\right \}\le \frac{1}{9} \approx 0.111 P{ ∣X−80∣≥30}≤91​≈0.111
附：常见分布的期望方差