状态机模型
大盗阿福
阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。
这条街上一共有 N 家店铺，每家店中都有一些现金。
阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。
作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。
他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？
输入格式
输入的第一行是一个整数 T，表示一共有 T 组数据。
接下来的每组数据，第一行是一个整数 N ，表示一共有 N 家店铺。
第二行是 N 个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。
每家店铺中的现金数量均不超过1000。
输出格式
对于每组数据，输出一行。
该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。
数据范围
1 ≤ T ≤ 50,
1 ≤ N ≤ 105
输入样例：
2
3
1 8 2
4
10 7 6 14
输出样例：
8
24
样例解释
对于第一组样例，阿福选择第2家店铺行窃，获得的现金数量为8。
对于第二组样例，阿福选择第1和4家店铺行窃，获得的现金数量为10+14=24。
解题思路：
状态表示：
状态机：0 1
0 表示未选 1 表示选.
f[i][0], f[i][1] 表示所有走了i步，且当前位于状态j的所有走法。
状态计算：
集合划分：
最后一步的走法：最后一个不选 | 最后一个选
f[i][0]的划分方式：
从 0->0 f[i - 1][0] // 前一个不选过来
从 1->0 f[i - 1][1] // 前一个选了过来
f[i][1]的划分方式：
f[i - 1][0] + w[i] // 只能前一个不选过来
状态转移方程为：
f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];
res = max(f[n][0], f[n][1])
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, INF = 0X3f3f3f3f;
int n;
int w[N], f[N][2];
int main()
{
int T;
cin >> T;
while (T --)
{
int n; cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> w[i];
f[0][0] = 0, f[0][1] = -INF; // 初始化入口
// 状态更新
for (int i = 1; i <= n; i ++)
{
f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];
}
cout << max(f[n][0], f[n][1]) << endl;
}
return 0;
}
股票买卖 IV
给定一个长度为 N 的数组，数组中的第 i 个数字表示一个给定股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润，你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。一次买入卖出合为一笔交易。
输入格式
第一行包含整数 N 和 k，表示数组的长度以及你可以完成的最大交易笔数。
第二行包含 N 个不超过 10000 的正整数，表示完整的数组。
输出格式
输出一个整数，表示最大利润。
数据范围
1 ≤ N ≤ 105,
1 ≤ k ≤ 100
输入样例1：
3 2
2 4 1
输出样例1：
2
输入样例2：
6 2
3 2 6 5 0 3
输出样例2：
7
样例解释
样例1：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
样例2：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。共计利润 4+3 = 7。
解题思路：
状态表示：
状态机：0：手中无货 1：手中有货
f[i][j][0] 表示所有只考虑前i天且正在进行第j次交易，并且手中无货的所有买法的集合
f[i][j][1] 表示所有只考虑前i天且正在进行第j次交易，并且手中有货的所有买法的集合
状态计算：
集合划分：
f[i][j][0] = max(f[i - 1][j][0], f[i - 1][j][1] + w[i])
f[i][j][1] = max(f[i - 1][j][1], f[i - 1][j - 1][0] - w[i])
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 110, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, k;
int w[N];
int f[N][M][2];
int main()
{
cin >> n >> k;
for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> w[i];
// 初始化
memset(f, -0x3f, sizeof f);
for (int i = 0; i <= n; i ++) f[i][0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
for (int j = 1; j <= k; j ++)
{
f[i][j][0] = max(f[i - 1][j][0], f[i - 1][j][1] + w[i]);
f[i][j][1] = max(f[i - 1][j][1], f[i - 1][j - 1][0] - w[i]);
}
int res = 0;
for (int i = 0; i <= k; i ++) res = max(res, f[n][i][0]);
cout << res << endl;
return 0;
}
股票买卖 V
给定一个长度为 N 的数组，数组中的第 i 个数字表示一个给定股票在第 i 天的价格。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
- 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
- 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
输入格式
第一行包含整数 N，表示数组长度。
第二行包含 N 个不超过 10000 的正整数，表示完整的数组。
输出格式
输出一个整数，表示最大利润。
数据范围
1 ≤ N ≤ 105
输入样例：
5
1 2 3 0 2
输出样例：
3
样例解释
对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]，第一笔交易可得利润 2-1 = 1，第二笔交易可得利润 2-0 = 2，共得利润 1+2 = 3。
f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][2] - w[i])
f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i]
f[i][2] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][2])
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
int w[N];
int f[N][3];
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> w[i];
f[0][0] = f[0][1] = -INF;
f[0][2] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
{
f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][2] - w[i]);
f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];
f[i][2] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][2]);
}
cout << max(f[n][1], f[n][2]) << endl;
return 0;
}