Java动态规划问题(四)N皇后问题

【题目】

N皇后问题是指在N*N的棋盘上摆N个皇后，要求任何两个皇后不同行、不同列，也不在同一条斜线上。给定一个整数n，返回n皇后的摆法有多少种。

【举例】

n=1；返回1。
n=2或3，2皇后和3皇后问题无论怎么摆都不行，返回0。
n=8，返回92。

【解答】

如果在(i,j)位置(第i行第j列)放置了一个皇后，接下来在哪些位置可以放置皇后。
1、整个第i行位置都不能放置。
2、整个第j列位置都不能放置。
3、如果位置(a,b)满足|a-i|==|b-j|,说明(a,b)与(i,j)处在同一条斜线上，也不能放置。

把递归过程直接设计成逐行放置皇后的方式，可以避开条件1的那些不能放置的位置。接下来用一个数组保存已经放置的皇后位置，假设数组为record，record[i]的值表示第i行皇后所在的列数。在递归计算到第i行第j列时，查看record [0…k] (k<i)的值，看是否有j相等的值，若有，则说明（i,j）不能放置皇后，再看是否有|k-i| == |record[k]-j|,若有，也说明(i,j)不能放置皇后。

public int num1(int n){
  if(n<1){
    return 0;
  }
  int[] record = new int[n];//初始化数组
  return process1(0,record,n);
}

public int process1(int i,int[] record,int n){
    if(i == n){
      return 1;
    }
    int res = 0;
    for(int j=0;j<n;j++){                           
      if(isValid(record,i,j++){                    //这一步是开始赋值，确定每一个棋位置
        record[i] = j;
        res += process1(i+1,record,n);             //递归
      }
    }
    return res;
}

public bolean isValid(int[] record,int i,int j){
  for(int k = 0;k<i;k++){
  //这是放置条件
  //1、整个第i行位置都不能放置。
  //2、整个第j列位置都不能放置。
  //3、如果位置(a,b)满足|a-i|==|b-j|,说明(a,b)与(i,j)处在同一条斜线上，也不能放置。
    if(j == record[k] || Math.abs(record[k]-j) == Math.abs(i-k)){
      return flase;
    }
  }
  return true;
}

【最优解】

下面介绍最优解，基本过程与上面方法一样，但使用了位运算来加速。具体加速的递归过程中，找到每行还有哪些位置可以放置皇后的判断过程。因为整个过程比较自然，所以先列出代码，然后对代码进行解释。