题目：在8×8的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能相互攻击，即任意两个皇后不得处在同一行、同一列或者同一对角斜线上。下图中的每个黑色格子表示一个皇后，这就是一种符合条件的摆放方法。请求出总共有多少种摆法。（leetcode51、52）
leetcode代码网址：https://github.com/vivianLL/LeetCode
解法一：回溯法
由于每次都是遍历下一行，所以两个皇后的行肯定不同；因此判断当前列是否已经占用，和判断对角线的位置。
用三个数组来表示列、正反对角线的占用情况。一行行的遍历，如果没有冲突就把相应的位置置为占用，继续处理下一行，并记录改行的皇后放在了哪一列，当皇后都放完后，根据记录的列号来拼出结果。进行回溯时要把占用的位置还回去。对角线位置的计算要小心（尤其是反对角线），可以把顶点带进去计算验证一下。
python实现如下：
def totalNQueens(self, n: int) -> int:
self.col = [False] * n
self.diag = [False] * (2 * n)
self.anti_diag = [False] * (2 * n)
self.result = 0
# self.result = []
self.recursive(0, n, [])
return self.result
def recursive(self, row, n, column):
if row == n:
self.result += 1
# self.result.append(list(map(lambda x: '.' * x + 'Q' + '.' * (n - 1 - x), column)))
else:
for i in range(n):
if not self.col[i] and not self.diag[row + i] and not self.anti_diag[n - i + row]:
self.col[i] = self.diag[row + i] = self.anti_diag[n - i + row] = True
self.recursive(row + 1, n, column + [i])
self.col[i] = self.diag[row + i] = self.anti_diag[n - i + row] = False
解法二：位运算
首先，我们的基本思路与传统一样，每一行只能放并且必须放一个皇后。每次放置一个皇后之后，它就会对后面所有行中，可能放置皇后的位置产生影响。如下图所示，我们已经放置了三个皇后Q1，Q2，Q3。 接着在下面一行放置Q4时，用彩色标注出的区域都是不可行的方案，会与已经放置的三个皇后产生冲突。
这个冲突其实有三种不同的情况，我们用三个变量A，B，C分别来表示这三种不同的冲突。这三个变量都是一个八位的二进制数，这八位中，为1的表示有冲突，为0表示没有冲突。
- 与已放置的皇后处于同一列中；
我们用B表示这种冲突。例如在图中，第四行会有三个位置因为列攻击而不能再放置皇后（图中大红色方块），因此A = 1000 1001。 - 与已放置的皇后处于同一左斜(指向右下方)对角线中；
我们用A表示这种冲突。例如在图中，蓝色方块所表示的位置，分别是由于Q1和Q2的左斜对角线上的攻击而不能够放置新的皇后， 因此B = 0001 0010。 - 与已放置的皇后处于同一右斜(指向右上方)对角线中。
我们用C表示这种冲突。例如图中粉色方块， 是由Q2的右斜对角线的攻击造成的。因此C = 0010 0000。
有了A，B，C，三个变量，我们很容易求出当前这一行中，有哪些位置是可以放置皇后的。这个变量我们用D来表示，我们可以写出D = ~(A|B|C)。D中为1的那些位置则是我们可以放置皇后的位置。在上图的情况下，D = 0100 0100。
此时，我们有两个可能的放置皇后的位置，那么要如何取出第一个位置呢？这里有一个技巧。我们用bit表示可能的一个位置，使用bit = D & (-D)即可取出D中最右边的一个1。例如D = 0100 0100，则-D = 10111100（注意计算机中的数都是补码）。而bit = D & (-D) = 0000 0100 取出了最右边的那个1。
注意这个结果中，除了最右 n 位以外，左边的位中也会有一些 1，这些 1 是多余的，应当去掉。怎么去掉呢？可以用一个最右 n 位为 1、其它位为 0 的 bit array 与上述结果进行与运算，而这个 bit array 可以用 (1 << n) - 1 这个表达式制造出来。
最后还有一点，如何递归？递归中传入的参数（也即A，B，C）该如何设定？其实也很简单，特别是对于列冲突变量B来说，只要使用B|bit即可表示下一行列冲突的情况，对于A，采用(A|bit)<<1，对于C，采用(C|bit>>1)即可表示下一行中，对角线冲突的情况。
（0按位取反为-1，-1按位取反为0，-1和任何数按位与的结果是任何数，1与任何数按位与的结果是1）
python代码如下：
def totalNQueens(self, n: int) -> int:
self.count = 0
def DFS(n, row, cols, pie, na):
bits = (~(cols | pie | na)) & ((1 << n) - 1) # 可以放置皇后的位置，对按列冲突、按左右斜对角线冲突的位置取反
while bits:
p = bits & -bits # 取出可以放置皇后的位置中最右边的一个1
if row == n - 1:
self.count += 1
else:
DFS(n, row + 1, cols | p, (pie | p) << 1, (na | p) >> 1) # 下一行中列、左斜对角线、右斜对角线冲突的情况
bits = bits & (bits - 1)
DFS(n, 0, 0, 0, 0)
return self.count
参考网址：
LeetCode N-Queens
八皇后问题优雅解法——位运算
10394 用位运算速解 n 皇后问题 （非常好）
