微积分-刘建亚笔记

@(课程)[高数]

Chapter06 无穷级数

6.1 常数项级数的概念和性质

1. 若干概念：
   
   • （常数项）级数：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$，其中$u_i$为常数
   • 通项（或一般项）：$u_n$
   • 部分和$S_n$：${u_n}$的前n项和；部分和数列：$\{S_n\}$
   • 级数收敛：${S_n}$在n趋于无穷时存在极限$S$，否则发散
2. 等比级数（几何级数）：$u_n = a q^{n-1}$
   
   • 当$|q|<1$时，极限为$\frac{a}{1-q}$
   • 当$|q|\geq1$时，等比级数发散

收敛级数的基本性质

1. 级数的每一项同乘一个不为零的常数，其敛散性不变。
2. 两个收敛级数可以逐项相加减。
3. 改变级数的有限项不改变级数的敛散性。
4. 若级数收敛，则对该级数各项按原次序任意分组加括号，新级数仍收敛且其和不变。
   推论：若加括号后发散，则原来的级数一定发散。
5. 级数收敛必要条件：$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} u_n = 0$，但反过来不一定成立（即不充分）。
6. 调和级数$u_n = \frac{1}{n}$发散，证明：
   将$2^1$项，后面$2^2$项，……，后面$2^m$项分组，
   $(1 + 1/2) + (1/3 + 1/4) \cdots + (\frac{1}{2^m + 1} + \frac{1}{2^m +2} + \cdots + \frac{1}{2^{m+1}}) + \cdots$ ，
   此加括号级数部分和$S_{m+1} > 1/2 + 1/2 + cdots + 1/2 = \frac{1}{2}(m+1)$，故发散
7. 级数发散的充分条件：$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} u_n \neq 0$