机器学习基础：期望最大化算法（Machine Learning Fundamentals: EM Algorithm）

前言

EM算法和MLE算法的相同点在于，两者都需要知道确定的概率密度函数形式。

若没有隐藏变量，则可以用MLE进行估计。若数据欠缺，或存在隐含变量，则无法使用直接使用MLE进行估计，因此需要使用EM算法。

所谓的隐藏变量，指的是1. 在整个数据集中，有些数据是不完备的。2. 或者一个数学模型可以通过引入未知变量来简化。如：高斯混合模型引入权重变量。

什么时候使用EM算法

实际上，即使有隐藏变量，我们只不过多加一个参数来估计而已，因此理论上也可以使用MLE的方法进行估计，即：先求对数似然函数 log likelihood, 然后求导最大化这个对数似然函数。

之所以引入EM算法，更重要的是因为多了隐变量之后，log-likelihood虽然能写出来，但是求导麻烦了，因此不好优化了。
由于加了隐变量，我们估计模型参数时需要知道隐变量；而隐变量是不知道的，要想估计隐变量，又需要知道模型参数。因此看起来像是个死锁。总结来说，当Q函数比似然函数l好优化时，就可以用EM算法来求。[1]

那么EM算法是如何迭代的呢？我们可以先初始化模型参数和隐变量中的一个，然后用这个初始化的参数去估计第二个参数。然后用这个估计的第二个参数再去估计第一个参数。不断迭代，得到最终结果，且这种策略的收敛性得到了证明。

核心思想

EM算法的核心思想是：根据给定数据，迭代地使用最大似然估计方法（MLE）求得未知参数 [1].

基本流程

EM算法的大概流程是：1. 先根据估计的参数来求得对数似然函数（log likelihood）的期望, 这个期望还是一个函数 2. 然后再计算使该期望最大时新的参数。3. 不断迭代前两步直至收敛

实例分析

推导过程

MLE回顾

回顾MLE，对数似然函数可以写成如下形式：

$$l(\theta )=\sum _{i=1}^n\log p(x_i|\theta )$$

其中 X = { x 1 , x 2 , . . . , x n } X=\{x_1, x_2, ..., x_n\} X={ x1​,x2​,...,xn​}是观察数据。

EM

定义似然函数

相比于MLE，EM由于增加了隐随机变量 Z = { z 1 , z 2 , . . . , z n } Z=\{z_1, z_2, ..., z_n\} Z={ z1​,z2​,...,zn​}，则对数似然函数需要表示成如下形式：

$$\begin{array}{rl}l(\theta )& =\sum _{i=1}^n\log p(x_i|\theta )\\ & =\sum _{i=1}^n\log \sum _{z_i=1}^{k}p(z_i|\theta )p(x_i|z_i,\theta )\\ & =\sum _{i=1}^n\log \sum _{z_i=1}^{k}p(x_i,z_i|\theta )\end{array}$$

似然函数的近似

背景： 如果没有隐变量$Z$, 则上述似然函数可以直接用MLE求解了。问题是$\log$函数里面还有个求和公式，因此很难直接求解这个似然函数。一种思路就是通过一种技巧把$\log$里面的求和公式干掉。

知识回顾：

1. 对于离散型随机变量$X$, 其期望为$E(X)={\sum }_{x\in X}xP(x)$
2. 设Y = g(X), 则$E(Y)={\sum }_{x\in X}g(x)P(x)$
3. 由于$\log (x)$是个凹函数，有 $log(E(X))\ge E(log(X))$, 如图：

方法： 去除$\log$函数里面的求和公式需要用到一些近似，具体放缩方式如下：

$$\begin{array}{rl}l(\theta )& =\sum _{i=1}^n\log \sum _{z_i=1}^{k}p(x_i,z_i|\theta )\\ & =\sum _{i=1}^n\log \sum _{z_i=1}^k{Q}_i(z_i)\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}\\ & \ge \sum _{i=1}^n\sum _{z_i=1}^k{Q}_i(z_i)\log \frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}\end{array}$$

推导： 根据要点回顾，我们引入了随机变量$z_i$ 的分布$Q_i(z_i)$。然后设

$$g(z)=\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}$$

则似然函数中第二行的${\sum }_{z_i=1}^k{Q}_i(z_i)\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}$可看作$E(g(z))$, 即
$$E_{z_i}\left(\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}\right)$$

又根据对数函数的性质，有$log(E(X))\ge E(log(X)$, 则：

$$\sum _i^{n}log\left(E_{z_i}\left(\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}\right)\right)\ge \sum _i^n{E}_{z_i}\left(log\left(\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}\right)\right)$$
即：
$$\sum _{i=1}^n\log \sum _{z_i=1}^k{Q}_i(z_i)\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}\ge \sum _{i=1}^n\sum _{z_i=1}^k{Q}_i(z_i)\log \frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}$$
推导完成。

似然函数的求解

这个不等式右边被称为$l(\theta )$的下界，我们还需要确定下$Q_i(z_i)$才能求解这个下界的最大值。求解过程如下：

若取到等号时我们的下界函数最接近原始函数，此时有：

$$\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}=c（常数）$$

又因为$Q_i(z_i)$是概率分布，所以${\sum }_{z_i=1}^k{Q}_i(z_i)=1$. 将$\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}=c$ 带入对数似然函数中的${\sum }_{z_i=1}^k{Q}_i(z_i)\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}$， 得：

$$\sum _{z_i=1}^{k}p(x_i,z_i|\theta )=c$$

所以有：

$$\begin{array}{rl}{Q}_i(z_i)& =\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{c}\\ & =\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{{\sum }_{z_i=1}^{k}p(x_i,z_i|\theta )}\\ & =\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{p(x_i|\theta )}\\ & =p(z_i|x_i,\theta )\end{array}$$

一旦这个Q确定了，我们就可以求解$(\theta )$的下界了。

我们再回顾下上述不等式，所谓E步骤，其实就是在计算一个期望，这个期望也就是$l(\theta )$的下界，即:

$$\sum _i^n{E}_{z_i}\left(log\left(\frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}\right)\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{z_i=1}^k{Q}_i(z_i)\log \frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}$$

然后我们再计算:

$$argmax\sum _{i=1}^n\sum _{z_i=1}^k{Q}_i(z_i)\log \frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}$$

这一步就被称为M步。

小结

通过上述分析，我们总结EM算法如下：

1. 随机初始化模型参数${\theta }^0$
2. （E步）计算联合分布的条件概率期望 $(j=0,1,2,3...)$
   $$Q_i(z_i)=p(z_i|x_i,{\theta }^j)$$

$$l(\theta ，{\theta }^j)=\sum _{i=1}^n\sum _{z_i=1}^k{Q}_i(z_i)\log \frac{p(x_i,z_i|\theta )}{Q_i(z_i)}$$
3. (M步)极大化$l(\theta ，{\theta }^j)$
$${\theta }^{j+1}=\mathrm{argmax}l(\theta ,{\theta }^j)$$
4. 重复2，3直至算法收敛

思考

参考文献

1. R. O. Duda, P. E. Hart, and D. G. Stork, Pattern Classification. John Wiley & Sons, 2012.
2. EM算法详解
3. EM算法原理及推导
4. 徐亦达机器学习：Expectation Maximization EM算法
5. 如何感性地理解EM算法？
6. 复旦-机器学习课程 第十讲 EM 算法