自适应滤波器原理——仿射投影算法（AP）

仿射投影算法 (Affine projection algorithm) 是运算量介于 LMS 和 RLS 之间的一种自适应算法。

其中，X(n)是输入向量矩阵， $w^{*}(n)$ 是w(n)的共轭转置

令滤波器的实际输出作为期望输出d(n)，则先验误差向量表示为：

为了简化，我们令μ=1，把y(n)代入e(n)中，则：

我们发现滤波器系数的更新量 $\triangle W_{n}^{*}(\bigtriangleup W_{n})$ ，是由L个线性方程组成的线性方程组决定的

线性方程组相关知识补充：

对于线性方程组： $A_{m*n}X_{n*1}=B_{m*1}$

考虑（行/列）满秩的情况，分下面三种情况：

（一）如果m=n，则： $x=A^{-1}b$ 具有唯一精确解

（二）如果m<n（行数小于列数）即方程的个数小于未知数的个数此时方程组有无穷多个解。为了得到唯一解必须增加约束条件要求 x 的范数最小这样得到的解称为最小范数解，即： $x=A^{H}(AA^{H})^{-1}b$ 具有最小范数解

（三）如果m>n（行数大于列数）即方程的个数大于未知数的个数此时方程组不存在精确解只存在近似解。我们自然希望找到一个使方程组两边的误差平方和为最小的解即最小二乘解，即： $x=(A^{H}A)^{-1}A^{H}b$ 具有最小二乘解

利用线性方程组的结论，重新观察公式：

分为两种情况讨论：

情况1：1≤L<N，方程组为欠定方程，具有唯一的最小范数解

此时，权重更新公式变为：

如果L=1，则退化为 NLMS 算法：

实际中，L 取 2 、 3 就足够了。

情况2：L≥N，方程组为超定方程，其唯一解为最小二乘解：

此时，权重更新公式变为：

优点：收敛速度和计算复杂度介于 LMS 和RLS 之间

% 参考：
% https://github.com/rohillarohan/System-Identification-for-Echo-Cancellation
% https://github.com/3arbouch/ActiveNoiseCancelling/blob/c29ccfcd869657a5f58e1ce7755fe08c3a195bd9/ANC/BookExamples/MATLAB/APLMS_AEC_mono.m
function [e,y,w] = myAP(d,x,mu,M,L,psi)
    % input: 
    % d   -- 麦克风信号
    % x   -- 远端语音
    % mu  -- 步长
    % M   -- 滤波器阶数 40
    % L   -- 列数 2
    % psi -- 1e-4
    %
    % Outputs:
    % e - 输出误差 the output error vector of size Ns
    % y  - 输出系数 output coefficients
    % w - 滤波器参数 filter parameters
    
    d_length = length(d);
    if (d_length <= M)  
        print('error: 信号长度小于滤波器阶数！');
        return; 
    end
    if (d_length ~= length(x))  
        print('error: 输入信号和参考信号长度不同！');
        return; 
    end
    
    XAF = zeros(M,L);
    w1 = zeros(M,1);  % 滤波器权重 (40, 1)
    y = zeros(d_length,1);  % 估计的近端语音
    e = zeros(d_length,1);  % 误差
    
    for m = M+L:d_length    % 采样点数
        for k = 1:L % 列数
            XAF(:,k) = x(m-k+1:-1:m-k+1-M+1);   % (40,2)
        end
%         y(m) = (XAF'*w)'*(XAF'*w);        % 不太确定是不是这样(40,2)'*(40,1)=(2,1)
        E = d(m:-1:m-L+1) -XAF'*w1;    % (2,1)-(2,1)
        w1 = w1 + mu*XAF*inv((XAF'*XAF + psi*eye(L)))*E;
        w(:,m) = w1;        % (40, 73113)
        e(m) = E(1)'*E(1);
    end
end

参考链接：

https://www.cnblogs.com/LXP-Never/p/11773190.html

自适应滤波器原理——仿射投影算法（AP）

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