MMSE适合处理平稳序列，因为MMSE是一个均匀加权的最优化问题，也就是说，每一时刻的误差信号对目标函数的贡献权重是相同的，如果对于非平稳的语音信号效果就不太好了。
RLS重新定义了目标函数：
其中，滤波器系数选用的是，而不是
。因为在自适应更新过程中，滤波器总是变得越来越好，这意味着对于任何的i<n，|d(i)−wT(n)x(i)|总是比|d(i)−wT(i)x(i)|小 。
λ称为遗忘因子(0<λ≤1)。对离n时刻越近的误差加比较大的权重，遗忘越少，而对离n时刻越远的误差加比较小的权重，遗忘越多
- λ=1：无任何遗忘功能，此时 RLS 退化为 LMS 方法
- λ−>0：只对当前时刻的误差起作用，而过去时刻的误差完全被遗忘
我们让目标函数Jn(w)对w求导，令梯度等于0，得到w的公式为：
根据R(n)和r(n)的等式，得其时间递推公式：
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弊端：需要计算R(n)每个点的逆矩阵，很不划算。更优的方法？
令P(n)=R−1(n)，P(n)的时间递推公式为：
根据矩阵求逆引理：
可以得到：
其中，增益向量：
探索w(n)的时间递推公式
这就是标准RLS算法的更新公式，这里的ε(n)为先验估计误差。
一个广泛的共识是RLS 算法的收敛速度和跟踪性能都优于 LMS 算法，所付出的代价是需要更复杂的计算 。
- 优点：RLS自适应滤波器提供更快的收敛速度和跟踪性能。
- 缺点：由于RLS 使用了自相关矩阵的逆矩阵的递推，所以，一旦输入信号的自相关矩阵接近奇异时RLS 的收敛速度和跟踪性能会严重恶化 。
MATLAB代码如下：
function [e, y, w] = myRLS(d, x, lamda, M)
% Inputs:
% d - 麦克风语音
% x - 远端语音
% lamda - the weight parameter, 权重
% M - the number of taps. 滤波器阶数
%
% Outputs:
% e - 大小为Ns的输出误差向量
% y - 输出的近端语音
% w - 滤波器参数
Ns = length(d);
if (Ns <= M)
print('error: 信号长度小于滤波器阶数！');
return;
end
if (Ns ~= length(x))
print('error: 输入信号和参考信号长度不同！');
return;
end
I = eye(M);
a = 0.01;
p = a * I;
xx = zeros(M,1);
w1 = zeros(M,1); % 滤波器权重
y = zeros(Ns, 1); % 近端语音
e = zeros(Ns, 1); % 误差
for n = 1:Ns
%在输入信号x后补上M-1个0，使输出y与输入具有相同长度
xx = [x(n); xx(1:M-1)];
k = (p * xx) ./ (lamda + xx' * p * xx);
y(n) = xx'*w1;
e(n) = d(n) - y(n);
w1 = w1 + k * e(n);
p = (p - k * xx' * p) ./ lamda;
w(:,n) = w1;
end
end
参考链接：