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西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版第四章：最速下降算法。优化求解按照有/无约束分类：如投影梯度下降算法（(Gradient projection）便是有约束的优化求解；按照一阶二阶分类：梯度下降（Gradient descent）、Newton法等；按照偏导存在与否分类：如梯度下降、次梯度下降（Subgradient descent）等.本文主要整理：梯度下降法在维纳滤波中的应用.
一、原理思想
对于准则函数：
需要寻找最优解wowo，使它对所有ww满足J(wo)≤J(w)J(wo)≤J(w)。可以利用迭代下降的思路求解：
从初始值w(0)w(0)出发， 产生一系列权向量w(1)w(1)，w(2)w(2)...，使得准则函数每一次迭代都是下降的：J(w(n+1))<J(w(n))J(w(n+1))<J(w(n))，其中w(n)w(n)是权向量的过去值，w(n+1)w(n+1)是更新值。
定义梯度：
g=∇J(w)=∂J(w)∂wg=∇J(w)=∂J(w)∂w
负梯度方向为减小方向：
w(n+1)=w(n)−μ⋅g(n)w(n+1)=w(n)−μ⋅g(n)
为了说明准则函数随着迭代下降，从一阶泰勒展开可以观察：
二、应用实例
仍然借助维纳滤波一文的例子：
已知：
含有噪声的正弦波：y(n)=x(n)+w(n)=sin(2πfn+θ)+w(n)y(n)=x(n)+w(n)=sin(2πfn+θ)+w(n).
其中f=0.2f=0.2为归一化频率[-1/2, 1/2]，θθ为正弦波相位，服从[0,2ππ]的均匀分布，w(n)w(n)为具有零均值和方差σ2=2σ2=2的高斯白噪声。
求：
时域维纳滤波器。假设滤波器为时域滤波器时M=2M=2.
首先求解相关矩阵：
x(n)x(n)为广义平稳随机过程，可以计算其自相关函数：
rxx(m)=cos(2πfn)rxx(m)=cos(2πfn)
得到关于均方误差的准则函数：
代入数值：
迭代的时候，可以保留矩阵的形式，也可以利用代数的形式，形式不同但本质相同，以矩阵为例：
得到梯度∇J=−2r−1yd+2Ryyh∇J=−2ryd−1+2Ryyh.
对应搜索代码：
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|
r_yd = [0.5 0.154]';
R_yy = [2.5 0.154;0.154 2.5];
h_est = [0 0]';
deltaJold =
Inf
;
mu = 0.001;
for
i
= 1:2000
deltaJ = -2*r_yd+2*R_yy*h_est;
if
abs
(deltaJ-deltaJold)<1e-5
break
;
end
h_est = h_est - mu*deltaJ
deltaJold = deltaJ;
end
|
即可得出最优解h=[0.197 ，0.0495]′h=[0.197 ，0.0495]′。
三、稳定性
上文中μμ取0.001，μμ如何取值才能保证梯度正常下降呢？事实上，如果μμ过大结果会往外发散而不是收敛于最优点。
借助维纳滤波一文可以知道，
wo=R−1yyr−ydwo=Ryy−1ryd−
从而有：
记c(n)=wo−w(n)c(n)=wo−w(n):
c(n+1)=c(n)(I−2μRyy)c(n+1)=c(n)(I−2μRyy)
对于正定矩阵，存在正交矩阵：
Ryy=QΛQ−1Ryy=QΛQ−1
即I−2μRyy=Q(I−2μΛ)Q−1I−2μRyy=Q(I−2μΛ)Q−1，为此保证最大特征值小于1即可保证收敛：
如对应上面hh的求解，1λmax=0.37681λmax=0.3768，用上面的程序容易验证μ=0.37μ=0.37时满足条件，可以收敛；μ=0.38μ=0.38则发散，无法得到最优值。
四、理论扩展
如果沿着曲线直接寻优，我们称为：精确直线搜索。如计算：
：
这是就是ΔxΔx与xx固定后，该问题就是tt的函数，易求解。但实际情况中，准则函数并不总是这么理想，因此借助近似的思路去寻优，成了一种更普适的方式，梯度下降法、牛顿法都是基于该思路。
这里给出一个更简单的例子y=kxy=kx的拟合问题，其中kk未知。
首先给出结果图：
100组随机试验，未添加噪声。
给出code：
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|
N = 100;
a =
zeros
(1,N);
mu =0.002;
flag = 2;
for
k = 1:N
xold =
linspace
(-10,10,60);
nums =
randperm
(
length
(xold));
x = xold(nums);
y = 3*x +2*
randn
(1,
length
(x));
switch
flag
case
1
a_est = 0;
batch = 10;
for
i
=1:batch:
length
(x)
a_est = a_est+mu*(x(
i
:
i
+batch-1)*(y(
i
:
i
+batch-1)-a_est*x(
i
:
i
+batch-1)).');
end
case
2
a_est = 0;
batch = 1;
for
i
=1:batch:
length
(x)
a_est = a_est+mu*(x(
i
:
i
+batch-1)*(y(
i
:
i
+batch-1)-a_est*x(
i
:
i
+batch-1)).');
end
end
a(k) = a_est;
end
|
对于相关矩阵：来自统计均方误差，但实际应用中通常无法得知概率分布以及相关矩阵，通常是基于遍历性假设，以便利用时间换取空间。即：
Ryy≈yTyNRyy≈yTyN
与之对应的统计误差也不再是均方意义上，假设时间换空间的序列长NN:
简单来说：当NN较大时，对应的梯度下降称之为——批量（Batch）梯度下降，当N=1N=1即每次来一个样本，对应称之为——随机梯度下降。
通过上面的小程序可以得出两点结论：
- 初始值
- 迭代步长
- 特征尺寸（一维无此问题）
二者都对寻优产生影响。事实上对于高维数据，不同特征尺寸不同，对寻优也有影响，通常需要分别对特征进行归一化。
A-批量梯度下降
仍然以线性回归为例：
这里x0=1x0=1，给出准则函数，便于求导通常添加1/21/2:
求偏导：
从而：
可以写为：
迭代至满足收敛条件即可求解。
B-随机梯度下降
对应批量梯度下降，当m=1m=1即一次只接受/处理一个样本，对应为随机梯度下降。
事实上，当引入噪声时，时间换空间只能是一种近似，即批量/随机梯度下降的最优解，通常不是维纳滤波的最优解。基于随机梯度的最小均方误差（Least mean square,LMS）通常称为LMS算法，以示与梯度下降的区别。
C-Newton-Raphson法
梯度下降法基于一阶近似，如果二阶逼近收敛是否会更快一些？即寻找梯度的梯度——走一步想两步。
再次给出梯度下降的一阶Taylor近似：
f(x+Δx)≈f(x)+(∇f(x))T⋅Δxf(x+Δx)≈f(x)+(∇f(x))T⋅Δx
给出二阶Taylor近似：
∇2f(x)∇2f(x)对应的矩阵称为Hessian矩阵，该方法成为牛顿法（Newton），也称Newton-Raphson法。
对于点xkxk，选择下降方向：
参考：
- Simon Haykin 《Adaptive Filter Theory Fourth Edition》.
- Philipos C.Loizou《speech enhancement theory and practice》.
- 张贤达《矩阵分析与应用》.