04笔记 离散数学——关系——基于离散数学(第3版)_章炯民,陶增乐

关系的概念

X,Y是集合，R是X×Y的子集，则称R是X到Y的二元关系，若X=Y，称R为X上的关系，(x,y)∈R，称x，y满足关系R，记为xRy，x是y的前件，y是x的后键

定义
设R是X到Y的二元关系，R的定义域记为dom（R），R的值域记为ran( R )
d o m ( R ) = { x ∣ x ∈ X ， 且 存 在 y ∈ Y 使 ( x , y ) ∈ R } dom(R) = \{x|x∈X，且存在y∈Y使(x,y)∈R\} dom(R)={ x∣x∈X，且存在y∈Y使(x,y)∈R}
r a n ( R ) = { y ∣ y ∈ Y ， 且 存 在 x ∈ X 使 ( x , y ) ∈ R } ran(R) = \{y|y∈Y，且存在x∈X使(x,y)∈R\} ran(R)={ y∣y∈Y，且存在x∈X使(x,y)∈R}

空关系：空集
全关系：X×Y
恒等关系：{(x,x)|x∈X}

函数
X到Y的函数f使X到Y的二元关系
1）dom(f) = X
2)$$\forall x\in X，y_1，y_2\in Y,(x,y_1)\in f\wedge (x,y_2)\in f\to y_1=y_2$$

二元关系表示

1)表示集合的方法
2）关系图
用X，Y与那表示图中的顶点，一般X左Y右，当(x,y)∈R，则用有向边从x画到y，x=y的时候要画个圈

3） 关系矩阵
m×n矩阵，属于取1，不属于取0

n元关系

X1……Xn是n个集合
X1×……×Xn的子集R 是n元关系

关系的运算

逆关系
R − 1 = { ( y , x ) ∣ ( x , y ) ∈ R }   ⊆ Y × X R^{-1}=\{(y,x)|(x,y)∈R\}\ \subseteq Y×X R−1={ (y,x)∣(x,y)∈R} ⊆Y×X
补关系
x<y
逆关系是x>y
补关系是x≥y
复合关系
R = { ( x , z ) ∣ x ∈ X ， z ∈ Z 且 存 在 y 属 于 Y ， ( x , y ) ∈ R , ( y , z ) ∈ S } R=\{(x,z)|x∈X，z∈Z且存在y属于Y，(x,y)∈R,(y,z)∈S\} R={ (x,z)∣x∈X，z∈Z且存在y属于Y，(x,y)∈R,(y,z)∈S}

复合关系不满足交换律
并不是任何两个关系都可以复合

幂
设R是X上的关系，n∈N
R的n次幂R^n
$$R^n=\{\begin{array}{rlr}{I}_X& & n=0\\ R^{n-1}R& & 其他\end{array}$$

限制
设R是X上的关系，Y是X的子集，则Y上的关系{(x,y)|x、y∈Y，且(x,y)∈R} 称R在Y上的限制

关系运算性质

$$(R^{-1}{)}^{-1}=R$$
$$(R\cup S{)}^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}(R\cap S{)}^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}$$
$$(R\circ S{)}^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}$$
$$(R\circ S)\circ T=R\circ (S\circ T)$$

定理
设R是X上的关系，则对任意正整数n和任意x,y∈X，(x,y)∈R^k
等价于存在 n+1元组(x0……xn)∈X^{n+1}
其中x0 = x,xn = y.对于任意i，(x_i,x_{i+1})∈R

推论1
R是X的关系，m、n∈N
$$R^m{R}^n=R^{m+n}$$
推论2
设R是有限集X上的关系，|X|=n,n∈N，对任意x,y∈X，m∈N，若(x,y)∈R^m，存在k∈N，k≤n，使得(x,y)∈R^k

推论3
|X|=n
$$\bigcup _{m=1}^{\infty }{R}^m=\bigcup _{m=1}^n{R}^m$$

关系特殊性质 闭包

特殊性质
1）x∈X，总有(x,x)∈R，R是X上的自反关系
2）x∈X，总有(x,x)不属于R，R是X上的反自反关系
3）x、y∈X，只要(x,y)∈R，就有(y,x)∈R，R是X上的对称关系
4）x、y∈X，只要(x,y)∈R且(y,x)∈R就有x=y，R是X上的反对称关系
5）3）x、y、z∈X，只要(x,y)∈R且(y,z)∈R，就有(x,z)∈R，R是X上的传递关系

符号表示
1）自反
$$I_x\subseteq R$$
2)反自反
$$R\cap I_X=\varnothing$$
3)对称关系
$$R^{-1}=R$$
4)反对称
$$R\cap R^{=1}\subseteq I_X$$
5)传递关系等价于
$$R^2\subseteq R$$
推导于（不等价，下不能推传递
$$R^n\subseteq R$$

关系矩阵中表示
1）自反，对角线为1
2）反自反 对角线为0
3）矩阵对称
4) 矩阵对称位置至少一个0

关系图表示
1）自反 顶点有环
2）反自反 顶点无环
3）对称 顶点间有边且必有两条相反边
4) 反对称 关系图至多一条边

闭包

定义
R是X关系，P是关系性质，包含R的、具有性质P、X上最小关系称为R的P闭包

R的P闭包是X上的一个关系R^P,满足
1）$$R\subseteq R^P$$
2)$$R^P具有性质P$$
3）对任意X上的关系R‘，若R’有性质P
$$若R\subseteq R^{\prime },则R^P\subseteq R^{\prime }$$

比如R是X的关系，X上包含R最小的传递关系就是R的传递闭包 如果X上关系T有以下性质
1）$$R\subseteq T$$
2)T是传递的
3）任何X上包含R的传递关系包含T
则T是R的传递闭包

定理
r自反闭包，s对称闭包，t传递闭包
1）$$r(R)=r\cup I_X$$
2)$$s(R)=R\cup R^{-1}$$
3)$$t(R)=\bigcup _{n=1}^{\infty }{R}^n$$

等价关系和划分

等价关系
定义：
同时满足自反、对称、传递关系的关系
若R是X上的等价关系，xRy，则称xRy关于R等价
1）恒等关系 全关系都是等价关系
2）R的≤关系不是等价关系
3）xRy定义为：x和y姓氏相同，R是等价关系
4）xSy，x和y具有相同的父亲或母亲，S不是等价关系

等价类
定义：
x关于R的等价类 [ x ] R : { y ∣ y ∈ X ， 且 y R x } ⊆ X R : X 上 的 等 价 关 系 ， x ∈ X [x]_R:\{y|y∈X，且yRx\}\sube X\\ R:X上的等价关系，x∈X [x]R​:{ y∣y∈X，且yRx}⊆XR:X上的等价关系，x∈X
等价类【x】_R的代表元 x

模m的同余关系R_m和同余类
1)
R m = { ( x , y ) ∣ x , y ∈ Z ， x ≡ y ( m o d   m ) } , m ∈ N R_m=\{(x,y)|x,y∈Z，x≡y(mod\ m)\},m∈N Rm​={ (x,y)∣x,y∈Z，x≡y(mod m)},m∈N
R_m是Z上的等价关系
2）对于Z模3的同余关系R_3
0，1，2所在的等价类
[ 0 ] R 3 = { 3 n ∣ n ∈ Z } [ 1 ] R 3 = { 3 n + 1 ∣ n ∈ Z } [ 2 ] R 3 = { 3 n + 2 ∣ n ∈ Z } [0]_{R3} = \{3n|n∈Z\}\\ [1]_{R3} = \{3n + 1|n∈Z\}\\ [2]_{R3} = \{3n + 2|n∈Z\}\\ [0]R3​={ 3n∣n∈Z}[1]R3​={ 3n+1∣n∈Z}[2]R3​={ 3n+2∣n∈Z}

定理
R是等价关系
1）$$xRy\Rightarrow [x{]}_R==[y{]}_R$$
2)$$\neg xRy\Rightarrow [x{]}_R\cup [y{]}_R=\varnothing$$
3)$$\bigcup _{x\in X}[z{]}_R=X$$

性质
1)等价类任意元素都可以作为等价类的代表元素
2）任意两个等价类，相等或无公共元素
3）等价类是所有那些互相等价的元素组成

商集
X关于R的商集X/R：X关于R的所有等价类组成的集合
X/R = {[x]_R| x ∈ R}
R: X上的等价关系

比如
Z / R 3 = { [ 0 ] R 3 , [ 1 ] R 3 , [ 2 ] R 3 } Z/R3 = \{[0]_{R3},[1]_{R3},[2]_{R3}\} Z/R3={ [0]R3​,[1]R3​,[2]R3​}

划分

x的划分pi

$$\begin{gathered} \pi \subseteq P(X) \\ \forall A\in \pi ,A\ne \varnothing \\ \forall A,B\in \pi ,（A=B\vee A\cap B=\varnothing ） \\ \cup \pi =X \end{gathered}$$
定理
R是X的等价关系
X/R是X的划分

pi是X的划分，定义R关系如下
R = { ( x , y ) ∣ x , y ∈ π 的 同 一 个 划 分 块 } R=\{(x,y)|x,y∈\pi的同一个划分块\} R={ (x,y)∣x,y∈π的同一个划分块}
R是X上的等价关系

偏序关系

X是集合，X上自反、反对称、传递的关系是X上的偏序关系，简称偏序，也称为部分序关系

若≤是X的偏序，对于X任意两个元素x,y,x≤y或y≤x总有一个成立，称≤是X上的全序关系
若≤是X的偏序，X和偏序≤合称为偏序集，记为二元组（X，≤）若≤是集合X上的全序，称（X，≤）是全序集

x,y∈X，若有x≤y或y≤x称x和y关于偏序≤是可比较的

哈斯图

定义
偏序集合（X，≤） x,y∈X
y覆盖x$$x<y\wedge \neg \exists z\in X使得x<z<y$$
y是x的直接后继

哈斯图
节点x和y之间箭头相连当且仅当y覆盖x且y位于x上方，默认每个点都有环故不画环

性质
(X,≤)偏序集，a∈X
1）任意x∈X，有x≤a，称a是（X，≤）的最大元
2）a≤x，称a是（X，≤）的最小元
3）不存在x属于X让a<x，a是（X，≤）的极大元
4）x<a，a是（X，≤）的极小元

最大（小）元最多一个或没有
极大（小）元可以有多个或没有
极大（小）元不一定是最大（小）元
最大元一定是极大元
当最大（小）元存在，极大（小）元只有一个
全序集极大（小）元一定是最大（小）元