设A是一个命题公式，含有命题变项p1、p2、p3...pn，又设A1、A2、A3...An是任意的命题公式，对每一个i(i = 1,2,3...n)，把pi在A中所有出现都替换称Ai，所得到的新的命题公式记作B，那么，如果A是重言式，B也是重言式，称这个式子为等值式模式，下面给出常用的16组重要的等值式模式：

1.双重否定率

$A\Leftrightarrow$ ┐┐ $A$

2.幂等律

$A \Leftrightarrow A \wedge A$ $A \Leftrightarrow A \vee A$

3.交换律

$A\wedge B \Leftrightarrow B \wedge A$ $A\vee B \Leftrightarrow B \vee A$

4.结合律

$\left ( A\vee B \right )\vee C \Leftrightarrow A \vee \left ( B \vee C \right )$

$\left ( A\wedge B \right ) \wedge C \Leftrightarrow A \wedge \left ( B \wedge C \right )$

5.分配律

$A\vee \left ( B \wedge C \right ) \Leftrightarrow \left ( A \vee B \right )\wedge \left ( A \vee C \right )$

$A \wedge \left ( B\vee C \right ) \Leftrightarrow \left ( A\wedge B \right )\vee \left ( A \wedge C \right )$

6.德摩根律

┐ $\left ( A\vee B \right )$ $\Leftrightarrow$ ┐A $\wedge$ ┐B

┐ $\left ( A\wedge B \right )$ $\Leftrightarrow$ ┐Av┐B

7.吸收律

$A\vee\left ( A\wedge B \right ) \Leftrightarrow A$

$A \wedge\left ( A\vee B \right ) \Leftrightarrow A$

8.零律

$A\vee1 \Leftrightarrow 1$ $A\wedge0 \Leftrightarrow 0$

9.同一律

$A\vee 0 \Leftrightarrow A$ $A \wedge 1 \Leftrightarrow A$

10.排中律

A $\vee$ ┐A $\Leftrightarrow$ 1

11.矛盾律

A $\wedge$ ┐A $\Leftrightarrow$ 0

12.蕴含等值式

$A\rightarrow B\Leftrightarrow$ ┐ $A$ $\vee$ B

13.等价等值式

$A\leftrightarrow B\Leftrightarrow \left ( A\rightarrow B \right )\wedge\left ( B\rightarrow A \right )$

14.假言易位

$A\rightarrow B\Leftrightarrow$ ┐A $\rightarrow$ ┐B

15.等价否定等值式

$A\leftrightarrow B\Leftrightarrow$ ┐A $\leftrightarrow$ ┐B

16.归谬论

(A->B) $\wedge$ (A->┐B) $\Leftrightarrow$ ┐A

以上十六组等值式模式共包含了24个重要等值式，它们都是用元语言符号书写的，等值式中的A、B、C可以替换成任意的公式，每个等值式模式都可以给出无穷多个同类型的具体的等值式，这些具体的等值式称为等值式模式的代入实例

由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程称为等值演算，等值盐酸式布尔代数或者逻辑代数的重要组成部分

在等值演算中，要使用下述重要规则：

置换规则 设Φ(A)是含公式A的命题公式, Φ(B)是用公式B置换了Φ(A)中所有的A后得到的命题公式,若B $\Leftrightarrow$ A,则Φ(B) $\Leftrightarrow$ Φ(A)。

这也是显然的，因为如果B $\Leftrightarrow$ A，那么在任意的真值赋值下B和A的真值相同，把它们代入Φ得到的结果也相同，从而Φ(B) $\Leftrightarrow$ Φ(A)

eg:用等值演算验证等值式 $\left ( p\vee q \right )\rightarrow r\Leftrightarrow \left ( p\rightarrow r \right )\vee \left (q\rightarrow r \right )$

$\left ( q\rightarrow r \right )\wedge \left ( p\rightarrow r \right )$

$\Leftrightarrow$ (┐q $\vee$ r) $\wedge$ ( ┐p $\vee$ r)

$\Leftrightarrow$ ( ┐q $\wedge$ ┐p) $\vee$ r

$\Leftrightarrow$ ┐(q $\vee$ p) $\vee$ r

$\Leftrightarrow$ (q $\vee$ p) $\rightarrow$ r

得证

eg:证明 $\left ( p\rightarrow q \right )\rightarrow r$ 与 $p\rightarrow \left ( q\rightarrow r \right )$ 不是等值式

1.用真值表

2.当两个公式比较复杂的话，化简其二再进行判断

$\left ( p\rightarrow q \right )\rightarrow r$

$\Leftrightarrow$ (┐pVq) -> r

$\Leftrightarrow$ ┐(┐pVq)Vr

$\Leftrightarrow$ (p $\wedge$ ┐q)Vr

$p\rightarrow \left ( q\rightarrow r \right )$

$\Leftrightarrow$ ┐p V (┐q V r)

$\Leftrightarrow$ ┐p V ┐q V r

容易观察到000、010是A的成真赋值，是B的成假赋值

析取范式与合取范式

定义2.2

命题变项及其否定统称作文字，仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式，仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式

p、pv┐q、pv┐pv┐r都是简单析取式，分别由一个文字、两个文字、三个文字组成

p、p $\wedge$ ┐q、p $\wedge$ ┐p $\wedge$ ┐r都是简单合取式，分别由一个文字、两个文字、三个文字组成

注意，一个文字既可以既是简单析取式又是简单合取式

定理2.1

1.一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式

2.一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式

定义2.3

由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称作析取范式，又有像个简单析取构成的合取范式称作合取范式，析取范式与合取范式统称为范式

定理2.2

1.一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式

2.一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单合取式都是重言式

如何得到析取范式与合取范式呢？

1.利用蕴含等值式和等价等值式，消去联结词 $\rightarrow \leftrightarrow$

2.利用双重否定律(消去双重否定符)和德摩根律(内移否定符)

3.利用分配律，求取析取范式的时候使用 $\wedge$ 对 $\vee$ 的分配律，求合取范式的时候使用 $\vee$ 对 $\wedge$ 的分配律

定理2.3(范式存在定理)

任一命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式

eg:求取 $\left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow r$ 的析取范式与合取范式

定义2.4

在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项和他的否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变项或它的否定式按照下标从小到大或按照字典序排列，成这样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项)

由于每个命题变项在极小项中以原型或否定形式出现且仅出现一次，因而n个命题变项共可以产生 $2^{n}$ 个不同的极小项，每个极小项都有且仅有一个成真赋值，若极小项的成真赋值所对应的二进制数等于十进制数i，就将这个极小项记作 $m_{i}$ ,类似的，n个命题变相共可产生 $2^{n}$ 个不同的极大项，每个极大项只有一个成假赋值，将其对应的十进制数i做极大项的角标记作 $M_{i}$

定理2.4

设 $m_{i}$ 与 $M_{i}$ 是命题变相含p1、p2、p3...pn的极小项和极大项，则┐ $m_{i}$ = $M_{i}$ $m_{i}$ =┐ $M_{i}$

定义2.5

所有简单合取式(简单析取式)都是极小项(极大项)的析取范式(合取范式)称为主析取范式(主合取范式)

定理2.5

任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯一的

eg:求取 $\left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow r$ 的主析取范式与主合取范式

主析取范式的用途：

1.求公式的成真赋值与成假赋值

2.判断公式的类型

设公式A中含n个命题变项

(1)A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部 $2^{n}$ 个极小项

(2)A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项，此时，记A的主析取范式为0

(3)A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含有一个极小项

eg:由主析取范式得主合取范式

$A\Leftrightarrow m_{1}\vee m_{2}$

已知 $m_{0} m_{3}$ 未出现过，故主合取范式为 $A\Leftrightarrow M_{0}\wedge M_{3}$

矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范式含全部 $2^{n}$ 个极大项，而重言式无成假赋值，主合取范式不含任何极大项，可满足式的主合取范式中的极大项个数一定小于 $2^{n}$

联结词的完备集

定义2.6

称 $F:\left \{ 0,1 \right \}^{n}$ $\rightarrow$ $\left \{ 0,1 \right \}$ 为n元值函数

每个真值函数对应无穷多个等值的命题公式，每个命题公式又都对应唯一的真值函数

定义2.7

设S是一个联结词集合，如果任何n(n>=1)元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词的完备集

定理2.6

S = {┐, $\wedge$ , $\vee$ }是联结词完备集

可以证明恒取0值的真值函数(即与矛盾式等值的真值函数)不能用仅含 $\wedge$ 、 $\vee$ 、<->、->的公式表示，因而{ $\wedge$ ， $\vee$ ，<->，->}并不是完备集，进而它的任何子集都不是完备集

定义2.8

设q、p是两个命题，复合命题“p与q的否定式”称作q，p的与非式，记作p↑q，即 p↑q $\Leftrightarrow$ ┐(p $\wedge$ q)，符号↑称为与非联结词，复合命题“p或q的否定式”称作q，p的或非式，记作p↓q，即 p↓q $\Leftrightarrow$ ┐(p $\vee$ q)，符号↓称为或非联结词

p↑q为真当且仅当q、p不同时为真

p↓q为真当且仅当q、p同时为假

可满足性问题与消解法

略

离散数学第二章笔记

等值式

定义2.1