离散数学笔记（4）集合于函数

本文所有内容来自上海科学技术文献出版社《离散数学》第二篇。

第二篇 集合论

第三章 集合与关系

3-1 集合的概念和表示法

集合的方法有两种：
一种是将某集合的元素列举出来，称作列举法。
另一种是利用一项规则，以便决定某一物体是否属于该集合，称作叙述法。

外延性定理

两个集合是相等的，当且仅当它们有相同的成员。

子集

设 $A,B$ 是任意两个集合，假如 $A$ 的每一个元素是 $B$ 的成员，则称 $A$ 是 $B$ 的子集，或 $A$ 包含在 $B$ 内，或 $B$ 包含 $A$ 。记作 $A \subseteq B$ ，或 $B \supseteq A$ ，即有 $A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x (x\in A \rightarrow x \in B)$根据子集的定义，显然其具有自反性和传递性。

集合相等

集合 $A$ 和集合 $B$ 相等的充分必要条件是这两个集合互为子集。

真子集

如果集合 $A$ 的每一个元素都属于 $B$ ，但集合 $B$ 中至少有一个元素不属于 $A$ ，则称 $A$ 为 $B$ 的真子集，记作 $A \subset B$ 。

空集

不包含任何元素的集合是空集，记作 $\varnothing$ 。

空集是任何元素的子集

对于任意一个集合 $A$ ， $\varnothing \subseteq A$ 。

幂集

给定集合 $A$ ，由集合 $A$ 的所有子集为元素组成的集合，称为集合 $A$ 的幂集，记作 $\mathscr{P}(A)$ 。

幂集的元素

如果有限集合 $A$ 有 $n$ 个元素，则其幂集 $\mathscr{P}(A)$ 有 $2^n$ 个元素。

3-2 集合的运算

（1）集合的交(Intersection)

定义 3 - 2.1
设任意两个集合 $A$ 和 $B$ ，由集合 $A$ 和 $B$ 所有共同元素组成的集合 $S$ ，称为 $A$ 和 $B$ 的交集，记作 $A \cap B$ 。

（2）集合的并(Union)

定义 3 - 2.2
设任意两个集合 $A$ 和 $B$ ，所有属于 $A$ 或属于 $B$ 的元素组成的集合 $S$ ，称为 $A$ 和 $B$ 的并集，记作 $A \cup B$ 。

分配律

设 $A,B,C$ 为任意三个集合，则下列分配律成立。

1. $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A \cap C)$ 。
2. $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A \cup C)$ 。

吸收律

设 $A,B$ 为任意两个集合，则下列吸收律成立。

1. $A\cup(A\cap B)=A$ 。
2. $A\cap(A\cup B)=A$ 。

定理 3 - 2.3
$A \subseteq B$ ，当且仅当 $A \cup B = B$ 或 $A \cap B=A$ 。

（3）集合的补(Complement)

绝对补

设 $E$ 为全集，对任一集合 $A$ 关于 $E$ 的补 $E-A$ ，称为集合 $A$ 的绝对补，记作 $\sim A$ 或 $\overline{A}$ 。

德摩根律

设 $A,B$ 为任意两个集合，则下列关系式成立。

1. $\sim(A \cup B)=\sim A \cap \sim B$ 。
2. $\sim(A \cap B)=\sim A \cup \sim B$ 。

（4）集合的差（Difference）

定义 3 - 2.3
设任意两个集合 $A$ 和 $B$ ，所有属于 $A$ 而不属于 $B$ 的元素组成的集合 $S$ ，称为 $B$ 对于 $A$ 的补集，或相对补，记作 $A-B$ ，也称集合 $A$ 和 $B$ 的差。

差的定理

设 $A,B$ 为任意两个集合，则下列关系式成立。

1. $A-B=A\cap\sim B$ 。
2. $A-B=A-(A\cap B)$ 。

差的分配律

设 $A,B,C$ 为三个集合，则 $A\cap(B-C)=(A\cap B)-(A\cap C)$

**（5）集合的对称差

定义 3 - 2.5
设 $A,B$ 为任意两个集合， $A$ 和 $B$ 的对称差为集合 $S$ ，其元素或属于 $A$ ，或属于 $B$ ，但不能既属于 $A$ 又属于 $B$ ，记作 $A\oplus B$ 。

3-3 序偶与笛卡尔积

序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。

定义 3 - 4.1
两个序偶相等， $\langle x,y \rangle = \langle u,v \rangle$ ， $\text{iff }x=u,y=v$ 。

由此可定义 $n$ 元组，简写为 $\langle x_1,x_2,\cdots,x_n \rangle$ ，第 $i$ 个元素 $x_i$ 称作 $n$ 元素组的第 $i$ 个坐标。

定义 3 - 4.2
令 $A$ 和 $B$ 是任意两个集合，若序偶的第一个成员是 $A$ 的元素，第二个成员是 $B$ 的元素，所有这样的序偶集合，称为集合 $A$ 和 $B$ 的笛卡尔乘积或直积，记作 $A\times B$ 。

$A \times B = \{\langle x,y \rangle \vert (x \in A)\wedge(y \in B)\}$

定理 3 - 4.1
设 $A,B,C$ 为任意三个集合，则以下分配律成立：

1. $A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)$
2. $A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)$
3. $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup(B\times C)$
4. $(A\cap B)\times C=(A\times C)\cap(B\times C)$

定理 3 - 4.2
若 $C \neq \varnothing$ ，则 $A \subseteq B \Leftrightarrow (A\times C \subseteq B \times C)\Leftrightarrow(C\times A\subseteq C\times B)$

定理 3 - 4.3
设 $A,B,C,D$ 为四个非空集合，则 $A\times B\subseteq C\times D$ 的充要条件为 $A\subseteq C,B\subseteq D$ 。

特别地， $A \times A$ 可以写成 $A^2$ ，同样地， $\overbrace{A \times A \times \cdots \times A}^{n}=A^n$ 。

第四章 函数

4-1 函数的概念

定义 4 - 1.1
设 $X$ 和 $Y$ 是任意两个集合，而 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的一个关系，如果对于每一个 $x\in X$ ，有唯一的 $y\in Y$ ，使得 $\langle x,y \rangle\in f$ ，称关系 $f$ 为函数，记作 $f:X\rightarrow Y\text{ 或 }X\overset{f}{\rightarrow}Y$

函数相等

定义 4 - 1.2
设函数 $f:A\rightarrow B,g:C\rightarrow D$ ，如果 $A=C,B=D$ ，且对于所有 $x\in A$ 和 $x\in C$ ，有 $f(x)=g(x)$ ，则称函数 $f$ 和 $g$ 相等，记作 $f=g$ 。

满射（onto、surjection）

定义 4 - 1.3
对于 $X\overset{f}{\rightarrow}Y$ 的映射中，如果 $\text{ran }f=Y$ ，即 $Y$ 的每一个元素是 $X$ 中一个或多个元素的象点，则称这个映射为满射（或到上映射）。

单射（入射）(one -to-one、injective)

定义 4 - 1.4
从 $X$ 到 $Y$ 的映射中， $X$ 中没有两个元素有相同的象，则称这个映射为入射（或一对一映射）。设 $f:X\rightarrow Y$ 是入射，即是对于任意 $x_1,x_2\in X$ ，

$if$
$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$
$or$ $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$

双射（bijection、one-to-one correspondence）

定义 4 - 1.5
从 $X$ 到 $Y$ 的一个映射，若既是满射又是入射的，则称这个映射是双射的。

定理 4 - 1.1
令 $X$ 和 $Y$ 为有限集，若 $X$ 和 $Y$ 的元素个数相同，即 $\vert X \vert = \vert Y \vert$ ，则 $f:X\rightarrow Y$ 是入射的，当且仅当它是一个满射。

4-2 逆函数和复合函数

定理 4 - 2.1
设 $f:X\rightarrow Y$ 是一双射函数，那么 $f_c$ 是 $Y\rightarrow X$ 的双射函数。

定义 4 - 2.1
设 $f:X\rightarrow Y$ 是一双射函数，称 $Y \rightarrow X$ 的双射函数 $f_c$ 为 $f$ 的逆函数，记作 $f^{-1}$ 。

定义 4 - 2.2
设函数 $f:X\rightarrow Y,g:W\rightarrow Z$ ，若 $f(X)\subseteq W$ ，则 $g\circ f=\{\langle x,z \rangle \vert x \in X \wedge z \in Z \wedge (\exist y)(y \in Y \wedge y=f(x) \wedge z = g(y))\}$ ，称 $g$ 在函数 $f$ 的左边可复合。

定理 4 - 2.2
两个函数的复合是一个函数。

定理 4 - 2.3
令 $g\circ f$ 是一个复合函数，

1. 若 $g$ 和 $f$ 是满射的，则 $g\circ f$ 是满射的。
2. 若 $g$ 和 $f$ 是入射的，则 $g\circ f$ 是入射的。
3. 若 $g$ 和 $f$ 是双射的，则 $g\circ f$ 是双射的。

定义 4 - 2.3
函数 $f:X\rightarrow Y$ 叫做常函数，如果存在某个 $y_0\in Y$ ，对于每个 $x\in X$ 都有 $f(x)=y_0$ ，即 $f(X)=\{y_0\}$ 。

定义 4 - 2.4
如果 $I_X=\{\langle x,x \rangle \vert x \in X\}$ 则称函数 $I_X:X\rightarrow X$ 为恒等函数。

定理 4 - 2.4
设函数 $f:X\rightarrow Y$ ，则 $f=f\circ I_X=I_Y \circ f$ 。

定理 4 - 2.5
如果函数 $f:X\rightarrow Y$ 有逆函数 $f^{-1}:Y \rightarrow X$ ，则 $f^{-1}\circ f =I_X$ 且 $f\circ f^{-1}=I_Y$ 。

定理 4 - 2.6
若 $f:X\rightarrow Y$ 是一一对应的函数，则 $(f^{-1})^{-1}=f$ 。

定理 4 - 2.7
若 $f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow Z$ 均为一一对应函数，则 $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ 。

4-3 可数集与不可数集

定义 4 - 5.1
与自然数集合等势的任意集合称为可数的，可数集合的基数用 $\boldsymbol{\aleph}_0$ 表示。

定理 4 - 5.1
$A$ 为可数集的充分必要条件是可以排列成 $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\}$ 的形式。

定理 4 - 5.2
任一无限集，必含有可数子集。

定理 4 - 5.3
任一无限集合必与其某一真子集等势。

定理 4 - 5.4
可数集的任何无限子集是可数的。

定理 4 - 5.5
可数个两两不相交的可数集合的并集，仍然是一可数集。

定理 4 - 5.6
设自然数集合 $N$ ，则 $N\times N$ 是可数集。

定理 4 - 5.7
有理数的全体组成的集合是可数集。

定理 4 - 5.8
全体实数构成的集合 $R$ 是不可数的。

我们把集合 $(0,1)$ 的基数记为 $\boldsymbol{\aleph}$ ，因为 $(0,1)\sim R$ ，故 $K[R]=\boldsymbol{\aleph}$ 。 $\boldsymbol{\aleph}$ 也称作连续统的势。