线性模型优化：岭回归和Lasso回归

欠拟合和过拟合

此前已经介绍了线性模型LinearRegression的原理和具体实现。在代码验证阶段，使用wave数据集得到的结果是：训练集得分为0.67，测试集得分为0.66。此时，两者得分是十分接近的，但是距离满分1还有很大差距，这是欠拟合的表现，解决该问题的一种方案是增加更多有效的特征。

除了欠拟合，还有一种常见的情况：过拟合。先看如下一个例子：将LinearRegression应用到bostons数据集上

from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression


def lr_by_sklearn(X, y):
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=0)

    lr = LinearRegression().fit(X_train, y_train)
    print('lr: training set score: {:.2f}'.format(lr.score(X_train, y_train)))
    print('lr: test set score: {:.2f}'.format(lr.score(X_test, y_test)))


if __name__ == '__main__':
    X_arr, y_arr = bostons()
    lr_by_sklearn(X_arr, y_arr)

运行后，得到结果为

lr: training set score: 0.95
lr: test set score: 0.61

从结果上可以看出，模型在训练集上表现很好，但是在测试集上表现较差，这就是过拟合。但事实上，我们训练模型的目标就是希望模型能在测试集上表现优秀，从而保证模型的泛化能力，因此过拟合并不是我们希望看到的结果。

过拟合特征

为了解决过拟合问题，我们先看一下出现过拟合时，线性模型得到的数据特征。经分析发现，线性模型的权重系数往往非常大。这是因为过拟合时，线性模型为了很好地拟合每一个数据点，拟合函数的波动往往会很大，即在某些很小的区间里，函数值的变化很剧烈。由于自变量本身可大可小，所以权重系数就必须足够大。

还是用上面的实例，我们输出权重系数的最大和最小值，作为对比，将X和y的最大和最小值也输出。可以发现，X和y的范围都比较小，但是权重系数却高出了2个数量级。

In[3]: [max(lr.coef_), min(lr.coef_)]
Out[3]: [2980.7814393954595, -2239.8694355606854]
In[4]: [X.min(), X.max()]
Out[4]: [0.0, 1.0]
In[5]: [y.min(), y.max()]
Out[5]: [5.0, 50.0]

岭回归和Lasso回归

正则化(regularization)是在模型的目标函数中增加显式约束，限制权重系数的大小，从而在一定程度上减少过拟合。最常见的有两种：岭回归和Lasso回归。

岭回归

岭回归是一种在线性模型基础上添加L2范数的正则化方式
$$J=\sum _{i=1}^n(y_i-(w_i{x}_i+b_i){)}^2+\lambda \sum _{i=1}^n{w}_i^2$$
将上式做一下归并
$$J=\sum _{i=1}^n[((y_i-b_i)-w_i{x}_i{)}^2+\lambda w_i^2]$$
求和公式中的"[]"部分定义为一个新的变量$f_i$，并将$b_i$合并到$y_i$中
$$f=(y-wx{)}^2+\lambda w^2$$
上式中，为了方便书写，去掉了下标$i$。为了得到最佳的$w$，对$f$求一阶倒数，并令其等于0
$$f^{\prime }=-2(y-wx)x+2\lambda w=0$$
最终得到
$$w=\frac{xy}{x^2+\lambda }$$
显然，$\lambda$的引入，可以降低$w$的值。$\lambda$越大，$w$越小，过拟合风险越低，但是也会因此带来模型偏差的增大。此处，模型偏差的含义为真值与预测值之间的差值绝对值
$$|y-w\ast x|=|y-\frac{x^{2}y}{x^2+\lambda }|$$当$\lambda$为0时，偏差也为0；$\lambda$越大，偏差越大。即，$\lambda$在其中起到了调和模型偏差和过拟合风险的作用。

Lasso回归

Lasso回归则是在线性模型的基础上添加了L1范数
$$J=\sum _{i=1}^n(y_i-(w_i{x}_i+b_i){)}^2+\lambda \sum _{i=1}^n\mid w_i\mid$$
关于上式最优解的推导，有些难，此处直接引用文章，并给出结果：

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定义$m_j={\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}(y_i-{\sum }_{k\ne j}{w}_k{x}_{ik})$，$n_j={\sum }_{i=1}{x}_{ij}^2$，那么$w_j$的值为
$$w_j=\{\begin{array}{r}(m_j-\frac{\lambda }{2})/n_j,\text{if}{m}_j>\frac{\lambda }{2}\\ 0,\text{if}{m}_j\in [-\frac{\lambda }{2},\frac{\lambda }{2}]\\ (m_j+\frac{\lambda }{2})/n_j,\text{if}{m}_j<\frac{\lambda }{2}\end{array}$$
此处我们不必去细致关注每个变量的含义，更有意思的方面在于，有些$w$直接变为0了，相当于模型筛选了一批不重要的特征，将其权重系数设置为0。这是岭回归和Lasso之间的很大差异之一：岭回归倾向于让$w$值变小，而Lasso回归将部分$w$设置为0。

仿真实例

以下代码评估了线性回归、岭回归和Lasso回归三种模型在bostons数据集上的表现，同时针对核心指标，进行了输出和对比：

from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression, Ridge, Lasso, RidgeCV, LassoCV
import numpy as np


def lr_by_sklearn(X, y):
    # 数据集拆分
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=0)

    # 线性模型
    lr = LinearRegression().fit(X_train, y_train)
    print('lr: training set score: {:.2f}'.format(lr.score(X_train, y_train)))
    print('lr: test set score: {:.2f}'.format(lr.score(X_test, y_test)))
    print('lr: min_coef: {:.2f}, max_coef:  {:.2f}'.format(min(lr.coef_), max(lr.coef_)))
    print('\n=================================\n')

    # 构造不同的lambda值，RidgeCV交叉验证得到最佳lambda
    Lambdas = np.logspace(-5, 2, 20)
    rdCV = RidgeCV(alphas=Lambdas, cv=5)
    rdCV.fit(X_train, y_train)
    print('Ridge_best_lambda: {}'.format(rdCV.alpha_))

    # 输出最佳Ridge模型指标
    best_rd = Ridge(alpha=rdCV.alpha_).fit(X_train, y_train)
    print('rd: training set score: {:.2f}'.format(best_rd.score(X_train, y_train)))
    print('rd: test set score: {:.2f}'.format(best_rd.score(X_test, y_test)))
    print('rd: number of features used: {}'.format(np.sum(best_rd.coef_ != 0)))
    print('rd: min_coef:  {:.2f}, max_coef:  {:.2f}'.format(min(best_rd.coef_), max(best_rd.coef_)))
    print('\n=================================\n')

    # 构造不同的lambda值，LassoCV交叉验证得到最佳lambda
    Lambdas = np.logspace(-5, 2, 20)
    lsCV = LassoCV(alphas=Lambdas, max_iter=1000000, cv=5)
    lsCV.fit(X_train, y_train)
    print('Lasso_best_lambda: {}'.format(lsCV.alpha_))

    # 输出最佳Ridge模型指标
    best_ls = Lasso(alpha=lsCV.alpha_, max_iter=1000000).fit(X_train, y_train)
    print('ls: training set score: {:.2f}'.format(best_ls.score(X_train, y_train)))
    print('ls: test set score: {:.2f}'.format(best_ls.score(X_test, y_test)))
    print('ls: number of features used: {}'.format(np.sum(best_ls.coef_ != 0)))
    print('ls: min_coef: {:.2f}, max_coef: {:.2f}'.format(min(best_ls.coef_), max(best_ls.coef_)))


if __name__ == '__main__':
    X_arr, y_arr = bostons()
    lr_by_sklearn(X_arr, y_arr)

运行结果如下。从结果上可以看出，由于引入了正则化，岭回归模型(rd)和Lasso回归模型(ls)在训练集上的分数略低于线性模型(lr)，从0.95降低至0.93，但是在测试集上的分数却有了明显的提升，从0.61提升至0.76+；权重系数方面，rd和ls也从千量级降低至十量级；模型使用的特征数量方面，rd使用了所有的特征，共计104个，而ls只使用了其中的60个。

lr: training set score: 0.95
lr: test set score: 0.61
lr: min_coef: -2239.87, max_coef:  2980.78
=================================
Ridge_best_lambda: 0.04832930238571752
rd: training set score: 0.93
rd: test set score: 0.76
rd: number of features used: 104
rd: min_coef:  -21.64, max_coef:  27.12
=================================
Lasso_best_lambda: 0.001623776739188721
ls: training set score: 0.93
ls: test set score: 0.77
ls: number of features used: 60
ls: min_coef: -29.34, max_coef: 47.46