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写在前面
本篇不介绍熵权法以及topsis分析法的详细原理 若想了解请移步其他博客！！！
恰恰相反，本篇为懒人福利，适用于数学建模等需要快速解决问题的赛事。
一、算法简述
1.topsis分析法
topsis算法是一种常见的综合评价办法，适用于有多个指标时的方案选择问题，如下图所示
ps：以下数据为自行创造 仅用于讲解
| 方案\指标 | 可采矿量 | 基建投资 | 土地PH值 | 人员 |
| 方案1 | 5212 | 5000 | 5.7 | 45 |
| 方案2 | 3615 | 2600 | 4.0 | 32 |
| 方案3 | 5011 | 5412 | 5.0 | 43 |
| 方案4 | 4038 | 3200 | 4.3 | 38 |
| 方案5 | 4462 | 3600 | 4.8 | 40 |
通过topsis分析法我们可以通过优劣分析，为五个方案分别赋予一个评分，显然评分越高，综合考量下来优势越大。
2.熵权法
我们已经知道topsis分析法可以给每个方案一个评分，但这个评分是在各个指标所占权重相同的前提下来算的，但我们遇到的问题大部分肯定有的指标重要，有的不那么重要，我们又不能去主观给他赋权重，这个问题应该怎么解决？没错，熵权法可以！
熵权法是一种客观赋权方法，通过计算指标的信息熵，根据相对变化程度对整体的影响来决定指标权重。（不懂不要紧 会用就行）
3.两种算法的结合
了解了两种算法的基本原理，我们很容易想到，可以通过熵权法算出各指标的权重，进而通过topsis分析法进行评分，就能得到可信度较高的结果
二、算法步骤
1.判断指标类型
topsis模型一般是在所有指标均为极大型指标（数据越大越好）的基础上进行运算的，因此要判断各个指标都是什么类型，方便后面进行数据正向化。
一般的常见类型有
极大型（数据越大越好） 比如上方表格中的可采矿量
极小型（数据越小越好） 比如上方表格中的基建投资
中间型（数据稳定在某个固定的值最好） 比如上方表格里的ph最好保持在4.3
区间型（数据在某个区间内最好）比如上方表格中的人员最好在[30,40]之间
2.数据正向化
极小型数据（PS：当数据不全为正数时 只能使用第二个公式）
上面表格的基建投资为极小型数据 我们采用第二个公式来正向化
| 方案\基建投资 | 正向化前 | 正向化后 |
| 方案1 | 5000 | 412 |
| 方案2 | 2600 | 2812 |
| 方案3 | 5412 | 0 |
| 方案4 | 3200 | 2212 |
| 方案5 | 3600 | 1812 |
中间型数据
首先应该输入一个中间最优值再进行正向化
上面表格的土地PH值为中间型数据 我们的是4.3
| 方案\土地PH | 正向化前 | 正向化后 |
| 方案1 | 5.7 | 0 |
| 方案2 | 4.0 | 0.7857 |
| 方案3 | 5.0 | 0.5 |
| 方案4 | 4.3 | 1 |
| 方案5 | 4.8 | 0.6429 |
区间型数据
首先应该输入区间下限a和区间上限b再进行正向化
上面表格的人员指标为区间型数据 我们的下限a是30 上限b是40 M是5
| 方案\人员 | 正向化前 | 正向化后 |
| 方案1 | 45 | 0 |
| 方案2 | 32 | 1 |
| 方案3 | 43 | 0.4 |
| 方案4 | 38 | 1 |
| 方案5 | 40 | 1 |
正向化结束的矩阵称为正向化矩阵。如下表
| 方案\指标 | 可采矿量 | 基建投资 | 土地PH | 人员 |
| 方案1 | 5212 | 412 | 0 | 0 |
| 方案2 | 3615 | 2812 | 0.7857 | 1 |
| 方案3 | 5011 | 0 | 0.5 | 0.4 |
| 方案4 | 4038 | 2212 | 1 | 1 |
| 方案5 | 4462 | 1812 | 0.6429 | 1 |
3.正向化矩阵标准化
正向矩阵标准化是为了消除不同量纲的影响。
| 方案\指标 | 可采矿量 | 基建投资 | 土地PH | 人员 |
| 方案1 | 0.5172 | 0.1022 | 0 | 0 |
| 方案2 | 0.3587 | 0.6975 |
0.5203 | 0.5625 |
| 方案3 | 0.4972 | 0 | 0.3311 | 0.2250 |
| 方案4 | 0.4007 | 0.5487 | 0.6622 | 0.5625 |
| 方案5 | 0.4428 | 0.4495 | 0.4257 | 0.5625 |
这里得到的标准化矩阵要求所有数据必须全部大于等于0，如果有负数，需要按照以下方式重新进行标准化。
PS:4-7步是熵权法确定指标权重的步骤 如果想实现各指标权重相同 默认是1/m
4.计算概率矩阵P
| 方案\指标 | 可采矿量 | 基建投资 | 土地PH | 人员 |
| 方案1 | 0.2333 | 0.0568 | 0 | 0 |
| 方案2 | 0.1618 | 0.3880 | 0.2683 | 0.2941 |
| 方案3 | 0.2243 | 0 | 0.1707 | 0.1176 |
| 方案4 | 0.1808 | 0.3052 | 0.3415 | 0.2941 |
| 方案5 | 0.1997 | 0.2500 | 0.2195 | 0.2941 |
5.计算各个指标的信息熵
PS：由于概率矩阵中可能存在数值为0，但ln(0)为负无穷 我们这里将ln(0)设为0
| 指标 | 可采矿量 | 基建投资 | 土地PH | 人员 |
| 信息熵 | 0.9945 | 0.7699 | 0.8416 | 0.8275 |
6.计算信息效用值
| 指标 | 可采矿量 | 基建投资 | 土地PH | 人员 |
| 信息效用值 | 0.0055 | 0.2301 | 0.1584 | 0.1726 |
7.计算熵权
| 指标 | 可采矿量 | 基建投资 | 土地PH | 人员 |
| 熵权 | 0.0098 | 0.4061 | 0.2795 | 0.3047 |
8.计算最优距离和最劣距离
定义最大值
| 指标 | 可采矿量 | 基建投资 | 土地PH | 人员 |
| 0.5172 | 0.6975 | 0.6622 | 0.5625 |
定义最小值
| 指标 | 可采矿量 | 基建投资 | 土地PH | 人员 |
| 0.3587 | 0 | 0 | 0 |
定义第i个（i=1,2, ... ,n）评价对象与最大值的距离
定义第i个（i=1,2, ... ,n）评价对象与最小值的距离
| 方案\距离 | ||
| 方案1 | 0.6024 | 0.0670 |
| 方案2 |
0.0766 | 0.6080 |
| 方案3 | 0.5127 | 0.2151 |
| 方案4 | 0.0955 | 0.5841 |
| 方案5 | 0.2017 | 0.4787 |
9.计算未归一化得分以及归一化得分
未归一化得分
归一化得分（分数相加等于1）
| 方案\距离 | ||
| 方案1 | 0.1001 | 0.0352 |
| 方案2 |
0.8880 | 0.3120 |
| 方案3 | 0.2955 | 0.1038 |
| 方案4 | 0.8594 | 0.3019 |
| 方案5 | 0.7036 | 0.2472 |
由最终的可知，五个方案的的排名为5，1，4，2，3
三、MATLAB代码实现
代码部分共有四个.m文件 一个主文件 三个函数
1.主函数topsis.m
[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象 共有' num2str(m) '个评价指标'])
judge=input(['这' num2str(m) '个指标是否需要正向化处理，需要请输入1 不需要请输入0： ']);
if judge==1
Position=input('请输入需要正向化处理的列 比如2，3，6列需要处理 则输入[2,3,6]： ');
disp('请输入这些列分别是什么指标类型（1：极小型 2：中间型 3：区间型）')
Type=input('比如 2 3 6列分别是极小型 区间型 中间型 则输入[1,3,2]： ');
for i=1:size(Position,2)
X(:,Position(i))=Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
end
disp('正向化后的矩阵为 X=');
disp(X);
end
%标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)
disp("请输入是否需要增加权重向量，需要输入1，不需要输入0")
Judge = input('请输入是否需要增加权重： ');
if Judge == 1
if sum(sum(Z<0))>0
disp('标准化矩阵中存在负数 正在重新标准化')
for j=1:m
minn=min(Z(:,j));
maxx=max(Z(:,j));
for i=1:n
Z(i,j)=(Z(i,j)-minn)/(maxx-minn)
end
end
disp('标准化完成 矩阵Z= ');
disp(Z);
end
W = Entropy_Method(Z);
disp('熵权法确定的权重为：');
disp(W);
else
W = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加权重就默认权重都相同，即都为1/m
end
D_P = sum([W .* (Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;%最优距离
D_N = sum([W .* (Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;%最劣距离
S = D_N ./ (D_P+D_N);%相对接近度（可用来当得分）
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)%得分归一化 最后各方案得分相加为1
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend');
disp('按得分从高到底排列方案 分别为: ');
disp(index);%方案排名
2.正向化函数 Positivization.m
%正向化 Positivization 三个输入变量分别为目前处理的列向量 该列的指标类型 目前处理的是第几列
%输出变量为正向化后的列向量
function [posit_x]=Positivization(x,type,i)
if type==1 %极小型
posit_x=max(x)-x;
%posit_x=1./x 如果该列数据全部大于0 也可以这样正向化
elseif type==2%中间型
best=input('请输入最佳的值: ');
M=max(abs(x-best));
posit_x=1-abs(x-best)/M;
elseif type==3%区间型
a=input('请输入区间下限: ');
b=input('请输入区间上限: ');
MM=max(a-min(x),max(x)-b);
posit_x = zeros(size(x,1),1);
for i=1:size(x,1)
if x(i)<a
posit_x(i)=1-(a-x(i))/MM;
elseif x(i)>b
posit_x(i)=1-(x(i)-b)/MM;
else
posit_x(i)=1;
end
end
else
disp('请正确输入指标类型')
end
end3.熵权法函数 Entropy_Method.m
%计算权重
function [W] = Entropy_Method(Z)
[n,m]=size(Z);
d=zeros(1,m);
for i=1:m
x = Z(:,i);
p = x./sum(x);%概率矩阵
e = -sum(p .* mylog(p)) / mylog(n);%信息熵
d(i)=1-e;%信息效用值
end
W=d./sum(d);%熵权
end4.ln函数 mylog.m
function [lnp] = mylog(p)
n = length(p); % 向量的长度
lnp = zeros(n,1); % 初始化最后的结果
for i = 1:n % 开始循环
if p(i) == 0 % 如果第i个元素为0
lnp(i) = 0; % 那么返回的第i个结果也为0
else
lnp(i) = log(p(i));
end
end
end注：本篇文章为自己系统了解后写下，不保证不会出现问题。大家如果对文章存在困惑或者质疑 ，欢迎在评论区留言。
参考链接