高等数学学习笔记2：微分，不定积分，定积分

前言

Q：高等数学学习笔记1跑哪里去了？？？
A：还没写，下次补发。
其中会有一些我的理解，若不正确，感谢指出错误。
理解这篇文章，需要三角函数，导数。

微分

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分
--百度百科

我们去估计$\Delta y$的值，就是等于$x_0$处的切线斜率乘上$\Delta x$，即
$$\Delta y=\Delta x\times f^{\prime }(x)$$
换一下
$$dy=f^{\prime }(x)\times dx$$
$dy$就是函数的微分，我们可以发现函数的微分等于函数的导数与自变量微分的积。
$$f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$$
$f^{\prime }(x)$即微商。

微分的运算法则和导数的运算法则类似。

不定积分

• 设$f$和$F$在区间$I$上有定义，若
  $$F^{\prime }(x)=f(x),x\in I$$
  则称$F$为$f$在区间$I$的一个原函数。

• 若函数$f$在区间$I$上连续，则$f$在$I$上存在原函数。
  初等函数是连续函数，所以每一个初等函数都有原函数。

• 设$F$是$f$在区间$I$上的一个原函数，则
  $F+C$也是一个原函数，C为任意常量函数。
  证：
  $$[F(x)+C{]}^{\prime }=F^{\prime }(x)=f(x)$$

定义

函数$f$在区间$I$上的全体原函数称为$f$在$I$上的不定积分，记做：
$$\int f(x)dx$$

积分和微分互为逆运算。
我们令$y=\int f(x)dx$
$y$是原函数，所以有$y^{\prime }=f(x)$
$$\therefore y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=f(x)$$
$$\therefore dy=f(x)dx$$
$$\therefore \int dy=\int f(x)dx=y$$
$$即\int dy=y$$

由上面定义可知，不定积分和原函数是整体和个体的关系，所以
$$\int f(x)dx=F(x)+C$$
C为积分常数，可以取任一实数。

积分表

因为积分和微分互为逆运算，那么我们将导数表反过来看就是积分表。
其中较为特殊的
$$\int \frac{dx}{1+x^2}=arctanx+C$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{1}-x^2}=arcsinx+C$$
arctan等为反三角函数，三角函数是度数$⟶$值,反三角函数是值$⟶$度数。
例如$sin(\frac{\pi }{2})=1,$那么$arcsin(1)=\frac{\pi }{2}$

不定积分的线性运算法则：
$$\int (\sum _{i=1}^n{k}_i{f}_i(x))dx=\sum _{i=1}^n(k_i\int f_i(x)dx)$$
就是常数可以提出来。通过求导可以轻松证明。

换元积分和分部积分

第一换元积分

由于证明过程有点冗杂，我们直接看例题。
求$$\int tanxdx$$
解：
$$\because \int tanxdx=\int \frac{sinx}{cosx}dx=\int \frac{-(cosx{)}^{\prime }}{cosx}dx$$
根据不定积分的线性运算法则：
$$\int \frac{-(cosx{)}^{\prime }}{cosx}dx=-\int \frac{(cosx{)}^{\prime }}{cosx}dx$$
令$$u=cosx$$
$$\therefore \int \frac{(cosx{)}^{\prime }}{cosx}dx=\int \frac{(u{)}^{\prime }}{u}du=\int \frac{1}{u}du=-ln|u|du+C=-ln|cosx|+C$$

第二换元积分

求$$\int \frac{du}{\sqrt{u}+\sqrt[3]{u}}$$
解：
令$$u=x^6$$
$$\therefore \int \frac{du}{\sqrt{u}+\sqrt[3]{u}}=\int \frac{6x^5}{x^3+x^2}dx=6\int (x^2-x+1-\frac{1}{x+1})dx$$
想必现在很好积分了，最后还原回去即可、

我们发现第一换元就是将积分的换到微分里面去，第二换元就是微分的换的积分里面去、有些题目可以2种方法均可，这里不做赘述。

分部积分

$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$
根据导数乘法的运算法则，我们容易得到：
分部积分公式
$$\int udv=uv-\int vdu$$

我们来用一用。
求$$\int xcosxdx$$
解：
通过换元积分我们有：
$$\int xcosxdx=\int xd(sinx)$$
根据分部积分公式，得到：
$$\int xd(sinx)=sinx\times x-\int sinxdx=xsinx+cosx+C$$

定积分

定积分的几何意义即是所围成的曲边梯形的面积。
我们可以这样来看：
$${\int }_a^{b}f(x)\times dx$$
$f(x)\times dx$就是长乘上宽，即小矩形的面积，全部的小矩形和在一起就是曲边梯形的面积了。

牛顿-莱布尼茨公式

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$$
即a~b的定积分就是原函数的函数值$F(b)-F(a)$

利用定积分，我们来严格地证明圆的面积。
我们只需得到四分之一圆的面积即可，根据的圆方程得：
$$x^2+y^2=r^2$$
$$\therefore y=\sqrt{r^2-x^2}$$
$$\therefore {\int }_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx=(\frac{1}{2}{r}^{2}arcsin(\frac{x}{r})+x\sqrt{r^2-x^2}){|}_0^r$$
$$\therefore =\frac{\pi r^2}{4}-0=\frac{\pi r^2}{4}$$
即$$S=\pi r^2$$