平方调幅系统
01 第八次作业
一、习题简介
普通的幅度调制信号通常需要应用到信号乘法器， 将低频的调制信号与高频等副振荡正弦信号相乘。 现在有一个问题， 那就是将乘法器修改成加法器， 是否也能够完成信号的幅度调制呢？ 关于这个问题， 在第八次作业中， 有一道练习题介绍了通过加法器，在利用信号的平方和带通滤波器，完成信号的幅度调制的讨论。
习题中的调制系统包括三个组成部分， 第一个替代乘法器的加法器。 第二个是平方系统， 第三个是带通滤波器， 它们组成对信号的幅度调制系统。 对于频谱有限的信号 x(t) ， 与载波信号相加， 然后经过平方之后， 其中就会有交叉相乘项，以及两个平方项。 最后经过带通滤波 只保留下信号与载波的相乘结果， 也就是信号的幅度调制信号分量。 ·这是对过程的数学描述。 下面再从频谱和波形展示这个幅度调制过程。
二、习题求解
1、频谱分析
这里是平方系统输出信号表达式。 绘制出其中三组信号的频率分量。 一个信号平方的低频频谱， 它的宽度是信号频带宽度的两倍。 另外一组是由载波的平方项所形成的直流分量和 2 倍频振荡信号。 分别长在原点和 正负 2 omega c 出形成冲击频谱。 第三个就是信号与载波的交叉乘积项。 这就是我们想要的调幅信号。 频谱范围分别位于 omega c 加减 omega M， 因此， 后面的滤波器在增益和带宽方面， 能够将交叉乘积项恢复即可。
▲ 图1.2.1 平方项之后的信号频谱
根据交叉相乘项， 它前面有 2 倍的系数， 所以后面低通滤波器的增益 A 等于 二分之一。 滤波器的起始频率， 应该位于 2 倍的 omega M， 与 omega c 减去 omega M 之间。 滤波器的截止频率， 应该位于 omega c 加上 omega M， 与 2 倍的 omega c 之间。 这是题目中关于滤波器系数取值范围。 由此可见，在满足一定条件下， 这个系统是可以获得信号的幅度调制信号的。
系统实现信号幅度调制， 要求频谱中这两点之间不发生混叠， 所以要求 omega c 与 omega M 之间满足这个不等式。 最终化简后，要求 omega c 大于 三倍的 omega M。 在这个条件下， 频谱这两点之间也没有混叠。 ·这就是系统实现幅度调制所需要满足的条件， 即载波频率需要大于信号最高频率的三倍。
2、波形分析
让我们在回到时域波形， 将信号进行平方之后， 右边是对应的时域波形。 这其中包括有直流分量、 幅度调制波形以及 2 倍频的载波信号。 将其输入一个带通滤波器， 只保留调幅信号， 这样便可以得到最终的调幅信号了。
※ 总 结 ※
本文对于通过平方操作来获得信号的调幅系统进行了讨论， 在满足一定条件下，该系统可以产生相同的幅度调制信号。
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