GAMES101第3课Transformation——学习笔记

在GAMS101的第二节课的末尾，闫老师在讲解了向量的基本知识之后，引入了矩阵Matrices。

1）矩阵和向量相乘

将向量视为列向量（即 $M\times 1$ 的矩阵），矩阵在左边，向量在右边。

举例：在二维平面中，将向量作y轴对称操作。

给定任一一点(x,y)，将y轴作为对称轴时，对称的点是(-x,y).

如果此时我们有一矩阵 $\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ ，将这一矩阵乘以向量(x,y)，我们会得到

$\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x\\ y \end{pmatrix}$

这样，我们就通过矩阵 $\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ 就实现了对向量进行y轴对称反射的操作。

向量的点乘和叉乘，我们也可以用矩阵形式表示

到了第三节课，我们主要就是学习通过矩阵来实现图形的变换。

在图形学中，矩阵广泛用于表示转换。（In Graphics,pervasively used to represent transformations）

2）二维变换

Scale缩放变换

Reflection反射变换

Shear剪切变换

Rotate旋转变换

上述四种变换，我们以Rotate旋转变换来进行讲解。

在二维变换时，假设一个原始点(x,y),在进行某种变换后，变成了(x’,y’)，写成表达式为

$\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$

其中， $\begin{bmatrix} A &B \\ C& D \end{bmatrix}$ 称为变换矩阵。

在求解变换矩阵 $\begin{bmatrix} A &B \\ C& D \end{bmatrix}$ 时，我们可以选取特殊的点变换前和变换后的值，带入表达式求值即可。

旋转变换，当旋转 $\theta$ 角度时，我们分别选取两个特殊的点(1,0)和(0,1)，这两个点在旋转之后，变换的位置分别变成了 $\left ( cos\theta ,sin\theta \right )$ 和 $\left ( -sin\theta ,cos\theta \right )$ ，我们带回表达式，可以得到

$\begin{bmatrix} cos\theta \\ sin\theta \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -sin\theta \\ cos\theta \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$

上述两个表达式，我们依次进行展开，得到如下：

$cos\theta =A\times 1+B\times 0$ ，得到 $cos\theta=A$

$sin\theta =C\times 1+D\times 0$ ，得到 $sin\theta =C$

和

$-sin\theta =A\times 0+B\times 1$ ，得到 $-sin\theta =B$

$cos\theta =C\times 0+D\times 1$ ，得到 $cos\theta =D$

将求得的值再带回表达式，我们得到

$\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$

这样，我们就得到了旋转的变换矩阵。

缩放、反射、剪切、旋转四种变换，我们可以统一写成如下公式：

我们称之为线性变换(Linear Transforms)。

但是，我们再讨论Translation平移变换，我们会发现

表达式为

$\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} t_{x}\\ t_{y} \end{bmatrix}$