这次Laplace Deformation的博客分为两个部分，理论和实现
理论（含推导过程）：https://blog.csdn.net/z136411501/article/details/107622967
以实现解最简单的拉普拉斯线性方程组为主，不引入加速求解，与旋转不变性，体积不变性。
实现Demo分为两类，基础变形静态的实现，与VR下动态的实现
程序源代码链接：https://pan.baidu.com/s/1R6siadh4vkxRB0tMP6WABg 提取码：hqdq
（两份代码，静态与VR）
编译环境：
- Unity3D 2017.4.34c1
- mathNet
- VR额外配置：SteamVR+LeapMotion
一，实现Demo
静态：初始化一个20x20的mesh网格，将周围的vertex设为固定锚点，中间的单独黄色vertex设为移动锚点，向上移动(0, 1, 0)距离，其余vertex为变形区域。
VR动态：相同的网格，第一步确立改变的范围，将边缘处设为固定锚点，拖拽时，小球半径以内的所有点设为移动锚点。这里变形后的三角形太大，以至于有凹凸感，可加网格细分进行改善。（示意图因gif压缩保存导致色差）
二，代码解析
理论部分见另一篇博客，链接在上边。
采用半边（half-edge）作为mesh的存储数据结构。mathNet作为c#的数学库，用于计算矩阵的转置和逆。
本质是求解方程
然后，以静态demo为例，m为锚点的数目（固定锚点76+移动锚点1 = 77）,n为mesh网格顶点的数目（20x20=400），
L是一个400x400的矩阵，为了计算方便，采用其对称形式Ls参与计算，即在方程组里，L=Ls，解不变，下为Ls矩阵的具体value
w是锚点的权，全部初始化为1. I 是一个mxn的类单位矩阵，m为锚点的数目，n为网格顶点的数目，I的每一行只有一个非零元素，表示锚点在网格中的索引，矩阵value类似于下面这样
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 .... 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 .... 0 0 0 0
然后解释方程组的右边项，
δ(x)是一个400x3矩阵，存除这个网格变形前的所有vertex的拉普拉斯坐标，坐标公式计算如下
w是相同的锚点的权，C1:m 为 77x3的矩阵，存每个锚点变化后的坐标值，比如固定锚点的坐标不变，还是变形前的值，移动锚点的坐标改为加上偏移量(0，1， 0)变化后的坐标值。b矩阵示意值如下
至此，所有的矩阵填充完毕，求解变化后的坐标矩阵x(一个400x3矩阵，存变形后的mesh网格顶点的坐标值)，
最后一步更新mesh顶点的坐标，注意锚点的更新坐标为c1:m的坐标，而不用计算出来的坐标，因为有些许误差。
额外补充：
VR代码，用的是LeapMotion与HTC VIVE Pro套件，基本算法都一样，在这里，也是paper中强调了三次的一个技巧。
决定了变形区域，在抓着某些点进行拖拽时，红色方框中的矩阵其实是不再改变的，所以只用计算一次就好，
拖拽过程中，不断地修改矩阵b，计算新的vertex位置并更新到mesh。
只有当松手并重新抓点拖拽时，才重新计算一次方框中的矩阵，因为移动锚点可能更新了。