剑指offer.42-连续子数组的最大和

题目：输入一个整型数组，数组里有正数和负数。数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。例如输入的数组为{1，-2，3，10，-4，7，2，-5}，和最大的子数组为{3，10，-4，7，2}，因此输出为该子数组的和18。

不管暴力枚举适不适合解题，我们都可以先分析一下它的时间复杂度。一个长度为n的数组，共有n(n+1)/2个子数组，所以要找出所有子数组中的最大的和值，需要O(n^2)的时间复杂度，不满足题目需求。往往最直观的解不是最优解。

那我们看看动态规划是否可以呢？

这题很明显可以分解成子问题，设f(i)是以第i个数字结尾的子数组最大和，要想求得f(i)的最大和，我们肯定需要先求的f(i-1)的最大和...依次思路，现在的问题就变成了：当知道f(i-1)的最大和后，f(i)的最大和该是多少？

分析：假设有长度为n的数组data，如果f(i-1)的最大和是小于零的，那么加上f(i)后的值肯定是小于f(i-1)，那此时f(i)的最大和应该等于data[i]；如果f(i-1)的最大和是大于零的，那么加上f(i)后的值肯定是大于data[i]的，所以此时f(i)的最大和应该等于f(i-1)+data[i]。

经过分析，我们可以得到下面的公式：

通过上面的公式，我们可以得到一系列的最大和，剩下的操作就是从这些和中找出最大的和即可。

代码如下：

public Integer findGreatestSumOfSubArray(int[] data) {
    if (data == null || data.length == 0) return null;

    int result = 0;
    int[] maxSum = new int[data.length]; // 辅助数组，记录以第i个数字结尾的子数组最大和
    for(int i = 0; i < data.length; i++) {
        if (i > 0 && maxSum[i-1] > 0) {
            maxSum[i] = maxSum[i-1] + data[i];
        } else {
            maxSum[i] = data[i];
        }
        result = result > maxSum[i] ? result : maxSum[i]; // 循环中顺带判断出最大值
    }

    return result;
}

只需要遍历一次data数组，所以时间复杂度为O(n)，满足题目要求。