信息学奥赛一本通 2024：【例4.10】末两位数

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ybt 2024：【例4.10】末两位数

【题目考点】

1. 同余定理

根据同余定理，有：
$(a\ast b)\%m=(a\%m\ast b\%m)\%m$

2. 幂取模

$\begin{array}{rl}{a}^b\%m& =(a^{b-1}\cdot a)\%m\\ & =(a^{b-1}\%m\cdot a\%m)\%m\end{array}$
这就是求$a^b\%m$的递推公式
其中b = 1时$a^b\%m=a\%m$

【解题思路】

本题要求的是幂的末两位数，即为幂的值模100。根据幂取模的递推公式，若要求$a^b\%m$，可以有以下三种解法。

1. 递推

设v[i]表示$a^b\%m$
有：
v[i] = (v[i-1] * a%m) %m;
v[1] = a % m;

2. 迭代

迭代法思路与递推相似，只不过不用数组，只用变量。每次求出的值都赋值给变量s。
初始值：s = a % m;
循环中：s = (s * (a % m)) % m;

3. 递归

函数设为：
int solve(int b);求$a^b\%m$的值
要求该值，需要先求$a^{b-1}\%m$的值，代入公式$a^b\%m=(a^{b-1}\%m\cdot a\%m)\%m$

【题解代码】

解法1：迭代

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    
    
    int n, res = 1;
    cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		res = (res * 1992) % 100;
 	cout << res;
	return 0;
}

解法2：递推

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    
    
	int n, v[2005];//v[i]表示1992^i的末两位
	cin >> n;
	v[1] = 1992 % 100;
	for(int i = 2; i <= n; ++i)
		v[i] = v[i-1] * 1992 % 100;
	cout << v[n];
	return 0;
}

解法3：递归

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int solve(int i)//求1992^i的末两位
{
    
    
	if(i == 1)
		return 92;
	else
		return solve(i-1) * 1992 % 100;
}
int main()
{
    
    
	int n;
	cin >> n;
	cout << solve(n);
	return 0;
}