【题目链接】
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【题目考点】
1. 图论：最小生成树
记图中顶点数为V，边数为E
- Prim算法
复杂度： O ( V 2 ) O(V^2) O(V2) - Prim算法堆优化
复杂度： O ( E l o g E ) O(E log E) O(ElogE) - Kruskal算法
复杂度： O ( E l o g E ) O(E log E) O(ElogE)
【解题思路】
最小生成树模板题，求最小生成树所有边权加和。
该题输入的是邻接矩阵，因此使用邻接矩阵解决该问题。当然也可以保存为邻接表。
【题解代码】
解法1：Prim算法
- 写法1：使用邻接矩阵
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
int n, m, sum, dis[N], edge[N][N];//sum：最小生成树边权加和 edge：邻接矩阵 dis[i]：顶点i到已经确定的顶点中的最小距离
bool vis[N];//vis[i]：顶点i是否已经被确定
void prim()
{
memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
dis[1] = 0;
for(int k = 1; k <= n; ++k)
{
int u = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
if(vis[i] == false && (u == 0 || dis[i] < dis[u]))
u = i;
vis[u] = true;
sum += dis[u];//顶点u到已经确定的顶点的最短的边的长度是dis[u]，把这条边加入最小生成树，最小生成树的边权值增加dis[u]
for(int v = 1; v <= n; ++v)
if(edge[u][v] && vis[v] == false && dis[v] > edge[u][v])
dis[v] = edge[u][v];
}
}
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j)
cin >> edge[i][j];
prim();
cout << sum;
return 0;
}
- 写法2：使用邻接表
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
struct Edge
{
int t, w;//t:到达顶点 w:边权值
Edge(){
}
Edge(int a, int b):t(a), w(b){
}
};
vector<Edge> edge[N];//edge[i]:顶点i的所有邻接点
int n, m, sum, dis[N];//sum：最小生成树边权加和 dis[i]：顶点i到已经确定的顶点中的最小距离
bool vis[N];//vis[i]：顶点i是否已经被确定
void prim()
{
memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
dis[1] = 0;
for(int k = 1; k <= n; ++k)
{
int u = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
if(vis[i] == false && (u == 0 || dis[i] < dis[u]))
u = i;
vis[u] = true;
sum += dis[u];//顶点u到已经确定的顶点的最短的边的长度是dis[u]，把这条边加入最小生成树，最小生成树的边权值增加dis[u]
for(Edge e : edge[u])
{
int v = e.t, w = e.w;
if(vis[v] == false && dis[v] > w)
dis[v] = w;
}
}
}
int main()
{
int e;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j)
{
cin >> e;
if(e)
edge[i].push_back(Edge(j, e));
}
prim();
cout << sum;
return 0;
}
解法2：Prim算法堆优化 使用邻接矩阵
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
struct Pair
{
int v, d;//v：顶点 d：顶点v到已确定顶点的距离
Pair(){
}
Pair(int a, int b):v(a), d(b){
}
bool operator < (const Pair &b) const
{
return b.d < d;//到已确定顶点距离更小的数对更优先
}
};
int n, m, sum, dis[N], edge[N][N];//sum：最小生成树边权加和 edge：邻接矩阵 dis[i]：顶点i到已经确定的顶点中的最小距离
bool vis[N];//vis[i]：顶点i是否已经被确定
void prim()
{
priority_queue<Pair> pq;
memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
dis[1] = 0;
pq.push(Pair(1, 0));
int visNum = 0;//已经访问的顶点数
while(pq.empty() == false)
{
int u = pq.top().v, d = pq.top().d;
pq.pop();
if(vis[u])
continue;
vis[u] = true;
sum += d;
if(++visNum == n)
break;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
if(edge[u][i] && vis[i] == false && dis[i] > edge[u][i])
{
dis[i] = edge[u][i];
pq.push(Pair(i, dis[i]));
}
}
}
}
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j)
cin >> edge[i][j];
prim();
cout << sum;
return 0;
}
解法3：Kruskal算法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
struct Edge
{
int f, t, w;
Edge(){
}
Edge(int a, int b, int c):f(a),t(b),w(c){
}
};
int n, m, edgeNum, sum, fa[N];
bool vis[N];
vector<Edge> edges;
bool cmp(Edge a, Edge b)
{
return a.w < b.w;
}
void initFa()
{
for(int i = 1; i <= n; ++i)
fa[i] = i;
}
int find(int x)
{
if(x == fa[x])
return x;
else
return fa[x] = find(fa[x]);
}
void merge(int x, int y)
{
fa[find(x)] = find(y);
}
void kruskal()
{
sort(edges.begin(), edges.end(), cmp);
for(Edge e : edges)
{
if(find(e.f) != find(e.t))
{
sum += e.w;
merge(e.f, e.t);
if(++edgeNum == n-1)
return;
}
}
}
int main()
{
int e;
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j)
{
cin >> e;
if(e)
edges.push_back(Edge(i, j, e));
}
initFa();
kruskal();
cout << sum;
return 0;
}