粒子滤波 PF——三维匀速运动CV目标跟踪（粒子滤波VS扩展卡尔曼滤波）
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粒子滤波 PF——三维匀速运动CV目标跟踪（粒子滤波VS扩展卡尔曼滤波）
一、问题描述（离散时间非线性系统描述）
考虑一般非线性系统模型，
x k = f ( x k − 1 , w k − 1 ) z k = h ( x k , v k ) (1) x_k=f(x_{k-1},w_{k-1}) \\ z_k=h(x_k,v_k ) \tag{1} xk=f(xk−1,wk−1)zk=h(xk,vk)(1)
其中 x k x_k xk为 k k k时刻的目标状态向量。 z k z_k zk为 k k k时刻量测向量（传感器数据）。这里不考虑控制器 u k u_k uk。 w k {w_k} wk和 v k {v_k} vk分别是过程噪声序列和量测噪声序列，并假设 w k w_k wk和 v k v_k vk为零均值高斯白噪声，其方差分别为 Q k Q_k Qk和 R k R_k Rk的高斯白噪声，即 w k ∼ ( 0 , Q k ) w_k\sim(0,Q_k) wk∼(0,Qk), v k ∼ ( 0 , R k ) v_k\sim(0,R_k) vk∼(0,Rk)，且满足如下关系(线性高斯假设)为：
E [ w i v j ′ ] = 0 E [ w i w j ′ ] = 0 i ≠ j E [ v i v j ′ ] = 0 i ≠ j \begin{aligned} E[w_iv_j'] &=0\\ E[w_iw_j'] &=0\quad i\neq j \\ E[v_iv_j'] &=0\quad i\neq j \end{aligned} E[wivj′]E[wiwj′]E[vivj′]=0=0i=j=0i=j
二、贝叶斯滤波
定义 1 1 1 ~ k k k时刻对状态 x k x_k xk的所有测量数据为
z k = [ z 1 T , z 2 T , ⋯ , z k T ] T z^k=[z_1^T,z_2^T,\cdots,z_k^T]^T zk=[z1T,z2T,⋯,zkT]T
贝叶斯滤波问题就是计算对 k k k时刻状态 x x x估计的置信程度，为此构造概率密度函数 p ( x k ∣ z k ) p(x_k |z^k) p(xk∣zk)，在给定初始分布 p ( x 0 ∣ z 0 ) = p ( x 0 ) p(x_0|z_0)= p(x_0) p(x0∣z0)=p(x0)后，从理论上看，可以通过预测和更新两个步骤递推得到概率密度函数 p ( x k ∣ z k ) p(x_k |z^k) p(xk∣zk)的值。
是不是卡尔曼滤波的雏形出现了，哈哈哈，预测、更新也存在KF中。
2.1、 预测
现假定 k − 1 k- 1 k−1时刻的概率密度函数已知，则通过将Chapman-Kolmogorov等式应用
于动态方程(1)，即可预测 k k k时刻状态的先验概率密度函数为
p ( x k ∣ z k − 1 ) = ∫ p ( x k ∣ x k − 1 ) p ( k − 1 ∣ z k − 1 ) d x k − 1 ) (2) p(x_k |z^{k-1})=\int p(x_k |x_{k-1})p({k-1} |z^{k-1}) dx_{k-1}) \tag{2} p(xk∣zk−1)=∫p(xk∣xk−1)p(k−1∣zk−1)dxk−1)(2)
实际上，状态转移方程写为概率密度的形式即为： x k = f ( x k − 1 , w k − 1 ) = 等价 p ( x k ∣ x k − 1 ) x_k=f(x_{k-1},w_{k-1}) \underset{\text{等价}}= p(x_k |x_{k-1}) xk=f(xk−1,wk−1)等价=p(xk∣xk−1)
式(2)中隐含假定了 p ( x k ∣ x k − 1 ) = p ( x k ∣ x k − 1 , z k − 1 ) p(x_k |x_{k-1})= p(x_k |x_{k-1}, z^{k-1}) p(xk∣xk−1)=p(xk∣xk−1,zk−1)，实际上这本身在这里就是成立的，基于(1)式的马尔可夫过程。
2.2、 更新
在获得 p ( x k ∣ z k − 1 ) p(x_k |z^{k-1}) p(xk∣zk−1)的基础上，结合 k k k时刻得到的新的量测值，基于贝叶斯公式，可以计算 k k k时刻状态的后验概率密度函数:
p ( x k ∣ z k ) = p ( z k ∣ x k ) p ( x k ∣ z k − 1 ) p ( z k ∣ z k − 1 ) (3) p(x_k |z^{k})=\frac{p(z_k |x_k)p(x_k |z^{k-1})}{p(z_k |z^{k-1})} \tag{3} p(xk∣zk)=p(zk∣zk−1)p(zk∣xk)p(xk∣zk−1)(3)
式中分子 p ( z k ∣ z k − 1 ) p(z_k |z^{k-1}) p(zk∣zk−1)有全概率公式得到
p ( z k ∣ z k − 1 ) = ∫ p ( z k ∣ x k ) p ( x k ∣ z k − 1 ) d x k (4) p(z_k |z^{k-1})=\int p(z_k |x_k)p(x_k |z^{k-1}) dx_{k} \tag{4} p(zk∣zk−1)=∫p(zk∣xk)p(xk∣zk−1)dxk(4)
我就说吧，上述过程实际上贝叶斯后燕推断的公式，哈哈哈哈啊哈
实际上这也是卡尔曼滤波的更新思想：在 k k k时刻得到测量 z k z_k zk后，利用测量 z k z_k zk修正先验概率，进而获得当前时刻状态的后验概率。我正是太机智了，哈哈啊哈
三、粒子滤波 PF（贝叶斯滤波的MC实现）
粒子滤波实际上是递推贝叶斯滤波的蒙特卡洛实现的一种算法，即一种近似的贝叶斯滤波。
核心思想：是使用一组具有相应权值的随机样本(粒子)来表示状态的后验分布。该方法的基本思路是选取一个重要性概率密度并从中进行随机抽样，得到一些带有相应权值的随机样本后，在状态观测的基础上调节权值的大小。和粒子的位置，再使用这些样本来逼近状态后验分布，最后将这组样本的加权求和作为状态的估计值。粒子滤波不受系统模型的线性和高斯假设约束，采用样本形式而不是函数形式对状态概率密度进行描述，使其不需要对状态变量的概率分布进行过多的约束，因而在非线性非高斯动态系统中广泛应用。尽管如此，粒子滤波目前仍存在计算量过大、粒子退化等关键问题亟待突破。
通常情况下选择先验分布作为重要性密度函数、即
q ( x k ∣ x k − 1 ( i ) , z k ) = p ( x k ∣ x k − 1 ( i ) ) q(x_k |x_{k-1}^{(i)}, z_{k})=p(x_k |x_{k-1}^{(i)}) q(xk∣xk−1(i),zk)=p(xk∣xk−1(i))
对该函数取重要性权值为
w k ( i ) = w k − 1 ( i ) p ( z k ∣ x k ( i ) ) w_k^{(i)}=w_{k-1}^{(i)}p(z_k |x_{k}^{(i)}) wk(i)=wk−1(i)p(zk∣xk(i))
同样 w k ( i ) w_k^{(i)} wk(i)需要归一化得到 w ~ k ( i ) \tilde{w}_k^{(i)} w~k(i)。
标准的粒子滤波算法步骤为：
粒子滤波PF:
Step 1: 根据 p ( x 0 ) p(x_{0}) p(x0)采样得到 N N N个粒子 x 0 ( i ) ∼ p ( x 0 ) x_0^{(i)} \sim p(x_{0}) x0(i)∼p(x0)
For i = 2 : N i=2:N i=2:N
Step 2: 根据状态转移函数产生新的粒子为：$ x k ( i ) ∼ p ( x k ∣ x k − 1 ( i ) ) x_k^{(i)} \sim p(x_{k} |x_{k-1}^{(i)}) xk(i)∼p(xk∣xk−1(i))
Step 3: 计算重要性权值： w k ( i ) = w k − 1 ( i ) p ( z k ∣ x k ( i ) ) w_k^{(i)}=w_{k-1}^{(i)}p(z_k |x_{k}^{(i)}) wk(i)=wk−1(i)p(zk∣xk(i))
Step 4: 归一化重要性权值： w ~ k ( i ) = w k ( i ) ∑ j = 1 N w k ( j ) \tilde{w}_k^{(i)}=\frac{w_k^{(i)}}{\sum_{j=1}^Nw_k^{(j)}} w~k(i)=∑j=1Nwk(j)wk(i)
Step 5: 使用重采样方法对粒子进行重采样（以随机重采样和系统重采样为例）
Step 6: 得到 k k k时刻的后验状态估计：
E [ x ^ k ] = ∑ i = 1 N x k ( i ) w ~ k ( i ) E[\hat{x}_{k}]= \sum_{i=1}^Nx_{k}^{(i)}\tilde{w}_k^{(i)} E[x^k]=i=1∑Nxk(i)w~k(i)
End For
算法：系统重采样 （systematic resampling）
For i = 1 : N i=1:N i=1:N
Step 1: 初始化累积概率密度函数CDF： c 1 = 0 c_1=0 c1=0
For i = 2 : N i=2:N i=2:N
Step 2: 构造CDF: c i = c i − 1 + w k ( i ) c_i=c_{i-1}+w_k^{(i)} ci=ci−1+wk(i)
Step 3: 从CDF的底部开始： i = 1 i=1 i=1
Step 4: 采样起始点： u 1 = U [ 0 , 1 / N ] u_1=\mathcal{U}[0,1/N] u1=U[0,1/N]
End For
For j = 1 : N j=1:N j=1:N
Step 5: 沿CDF移动: u j = u 1 + ( j − 1 ) / N u_j=u_{1}+(j-1)/N uj=u1+(j−1)/N
Step 6: While u j > c i u_j>c_i uj>ci
i = i + 1 i=i+1 i=i+1
End While
Step 7: 赋值粒子： x k ( j ) = x k ( i ) x_k^{(j)}=x_k^{(i)} xk(j)=xk(i)
Step 8: 赋值权值： w k ( j ) = 1 / N w_k^{(j)}=1/N wk(j)=1/N
Step 9: 赋值父代： i ( j ) = i i^{(j)}=i i(j)=i
End For
四、仿真场景：三维雷达目标跟踪
4.1 仿真场景（三维匀速目标）
目标模型
考虑一各三维的匀速运动目标（CV 模型）：
x k + 1 = F k x k + G k w k x_{k+1}=F_kx_k+G _kw_k xk+1=Fkxk+Gkwk
其中状态向量 x k = [ x k , x ˙ k , y k , y ˙ k , z k , z ˙ k ] ′ x_k=[x_k,\dot{x}_k,y_k,\dot{y}_k,z_k,\dot{z}_k]' xk=[xk,x˙k,yk,y˙k,zk,z˙k]′；噪声为 w k = [ w x , w y , w z ] ′ w_k=[w_x,w_y,w_z]' wk=[wx,wy,wz]′；状态转移矩阵 F k F_k Fk和噪声驱动矩阵 G k G_k Gk如下
F k = [ 1 T 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 T 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 T 0 0 0 0 0 1 ] Γ k = [ 1 / 2 T 2 0 0 T 0 0 0 1 / 2 T 2 0 0 T 0 0 1 / 2 T 2 0 0 T ] F_k=\begin{bmatrix}1 & T & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & T & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & T\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \qquad\varGamma_k=\begin{bmatrix}1/2T^2 & 0 & 0 \\T & 0 & 0 \\0 & 1/2T^2 & 0 \\0 & T & \\0 & 0 & 1/2T^2 \\0 & 0 & T\end{bmatrix} Fk=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡100000T1000000100000T1000000100000T1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤Γk=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1/2T2T0000001/2T2T000001/2T2T⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
采样时间 T = 1 s T=1s T=1s. 初始状态为 x 0 ∼ ( x ˉ 0 , P 0 ) x ˉ 0 = [ 1 km , 20 m/s ， 1 km , 20 m/s , 1 km , 20 m/s ] ′ P 0 = diag ( 1 0 5 m 2 , 1 0 2 m 2 / s 2 , 1 0 5 m 2 , 1 0 2 m 2 / s 2 ， 1 0 5 m 2 , 1 0 2 m 2 / s 2 ) x_0\sim(\bar{x}_0,P_0)\\\bar{x}_{0}=[1\text{km}, 20\text{m/s} ，1\text{km}, 20\text{m/s} ,1\text{km}, 20\text{m/s}]'\\P_{0}=\text{diag}(10^5\text{m}^2, 10^2\text{m}^2/\text{s}^2, 10^5\text{m}^2, 10^2\text{m}^2/\text{s}^2， 10^5\text{m}^2, 10^2\text{m}^2/\text{s}^2) x0∼(xˉ0,P0)xˉ0=[1km,20m/s，1km,20m/s,1km,20m/s]′P0=diag(105m2,102m2/s2,105m2,102m2/s2，105m2,102m2/s2)
过程噪声均值和方差分别为 q = 10 q=10 q=10
w ˉ k = [ 0 ， 0 ， 0 ] ′ Q k = [ q 2 0 0 0 q 2 0 0 0 q 2 ] \bar{w}_k=[0，0， 0]'\\Q_k=\begin{bmatrix}q^2 & 0& 0 \\0 & q^2 & 0\\0&0 & q^2 \end{bmatrix} wˉk=[0，0，0]′Qk=⎣⎡q2000q2000q2⎦⎤
如果为非线性目标，则将状态转移矩阵 F k F_k Fk代替为雅可比矩阵即可。为了不是一般性这里采用线性模型进行仿真。主要处理目标跟踪，雷达量测存在的非线性滤波问题。
雷达量测模型
在三维情况下，雷达量测为距离和角度
r k m = r k + r ~ k b k m = b k + b ~ k e k m = e k + e ~ k {r}_k^m=r_k+\tilde{r}_k\\ b^m_k=b_k+\tilde{b}_k\\ e^m_k=e_k+\tilde{e}_k rkm=rk+r~kbkm=bk+b~kekm=ek+e~k
其中
r k = ( x k − x 0 ) + ( y k − y 0 ) 2 ) b k = tan − 1 y k − y 0 x k − x 0 e k = tan − 1 z k − z 0 ( x k − x 0 ) 2 + ( y k − y 0 ) 2 r_k=\sqrt{(x_k-x_0)^+(y_k-y_0)^2)}\\ b_k=\tan^{-1}{\frac{y_k-y_0}{x_k-x_0}}\\ e_k=\tan^{-1}{\frac{z_k-z_0}{\sqrt{(x_k-x_0)^2+(y_k-y_0)^2}}}\\ rk=(xk−x0)+(yk−y0)2)bk=tan−1xk−x0yk−y0ek=tan−1(xk−x0)2+(yk−y0)2zk−z0
[ x 0 , y 0 , z 0 ] [x_0,y_0,z_0] [x0,y0,z0]为雷达坐标，一般情况为0。雷达量测为 z k = [ r k , b k , e k ] ′ z_k=[r_k,b_k,e_k]' zk=[rk,bk,ek]′。雷达量测方差为
R k = cov ( v k ) = [ σ r 2 0 0 0 σ b 2 0 0 0 σ e 2 ] R_k=\text{cov}(v_k)=\begin{bmatrix}\sigma_r^2 & 0 &0\\0 & \sigma_b^2 &0\\0&0& \sigma_e^2 \end{bmatrix} Rk=cov(vk)=⎣⎡σr2000σb2000σe2⎦⎤且 σ r = 20 m \sigma_r=20m σr=20m， σ b = 20 m r a d \sigma_b=20mrad σb=20mrad, σ e = 15 m r a d \sigma_e=15mrad σe=15mrad。
4.2 跟踪轨迹
4.3 跟踪误差
五、部分代码
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5.1、主函数部分代码
clear all; close all; clc;
%% initial parameter
n=6; %状态维数 ;
T=1; %采样时间
M=1; %雷达数目
N=100; %运行总时刻
MC=10; %蒙特卡洛次数
global N_pf
N_pf=5000;% 采样点数PF
chan=1; %滤波器通道，这里只有一个滤波器
w_mu=[0,0,0]';% mean of process noise
v_mu=[0,0,0]';% mean of measurement noise
%% target model
%covariance of process noise
q=10; %m/s^2
Qk=q^2*eye(3);
% state matrix
% CV
Fk=[1,T,0,0,0,0;
0,1,0,0,0,0;
0,0,1,T,0,0;
0,0,0,1,0,0;
0,0,0,0,1,T;
0,0,0,0,0,1 ];
Gk=[ T^2/2, 0, 0;
T, 0, 0;
0,T^2/2, 0;
0, T, 0;
0, 0,T^2/2;
0, 0, T ];
%量测模型
sigma_r(1)=20; sigma_b(1)=20e-3; sigma_e(1)=15e-3; % covariance of measurement noise (radar)
% sigma_r=300; sigma_b=200e-3; sigma_e=100e-3;
Rk=diag([sigma_r(1)^2, sigma_b(1)^2,sigma_e(1)^2]);
xp=[0,0,0,0,0,0];%雷达位置
%% 定义存储空间
sV=zeros(n,N,MC); % 状态
eV=zeros(n,N,MC,chan); %估计
PV=zeros(n,n,N,MC,chan);%协方差
rV=zeros(3,N,MC,M); % %量测
for i=1:MC
sprintf('rate of process:%3.1f%%',(2*i)/(4*MC)*100)
% 初始状态的均值和方差
x=[1000,500,1000,0,100,100]';
P_0=diag([1e4,10^2,1e4,10^2, 1e4,10^2]);
x=[1000,80,1000,50,100,10]';
P_0=diag([1e5,10^2,1e5,10^2, 1e5,10^2]);
% x=[100,50,100,50,100,50]';
% P_0=diag([5e5,1e3,5e5,1e3,5e5,1e3]); %initial covariance
xk_EKF=x; Pk_EKF=P_0; % P0|0 x0|0
xk_pf=x; Pk_pf=P_0; % P0|0 x0|0
%产生N个粒子
for ii = 1 : N_pf
xpart(:,ii) = x+ sqrtm(P_0) * randn(6,1);
end
5.2、PF部分代码
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%函数功能：实现随机重采样算法
%输入参数：weight为原始数据对应的权重大小
%输出参数：outIndex是根据weight对inIndex筛选和复制结果
function outIndex=randomR(weight)
%获得数据的长度
L=length(weight);
%初始化输出索引向量，长度与输入索引向量相等
outIndex=zeros(1,L);
%第一步：产生[0,1]上均匀分布的随机数组，并升序排序
u=unifrnd(0,1,1,L);
u=sort(u);
%u=(1:L)/L%这个是完全均匀
%第二步：计算粒子权重积累函数cdf
cdf=cumsum(weight);
%第三步：核心计算
i=1;
for j=1:L
%此处的基本原理是：u是均匀的，必然是权值大的地方
%有更多的随机数落入该区间，因此会被多次复制
while(i<=L)&(u(i)<=cdf(j))
%复制权值大的粒子
outIndex(i)=j;
%继续考察下一个随机数，看它落在哪个区间
i=i+1;
end
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 系统重采样子函数
% 输入参数：weight为原始数据对应的权重大小
% 输出参数：outIndex是根据weight筛选和复制结果
function outIndex = systematicR(weight);
N=length(weight);
N_children=zeros(1,N);
label=zeros(1,N);
label=1:1:N;
s=1/N;
auxw=0;
auxl=0;
li=0;
T=s*rand(1);
j=1;
Q=0;
i=0;
u=rand(1,N);
while (T<1)
if (Q>T)
T=T+s;
N_children(1,li)=N_children(1,li)+1;
else
i=fix((N-j+1)*u(1,j))+j;
auxw=weight(1,i);
li=label(1,i);
Q=Q+auxw;
weight(1,i)=weight(1,j);
label(1,i)=label(1,j);
j=j+1;
end
end
index=1;
for i=1:N
if (N_children(1,i)>0)
for j=index:index+N_children(1,i)-1
outIndex(j) = i;
end;
end;
index= index+N_children(1,i);
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%