【概率论与数理统计】1.5 独立性

1.5.1 两个事件的独立性

  两个事件之间的独立性是指：一个事件的发生不影响另一个事件的发生，比如在掷两颗骰子的试验中，记事件$A$为“第一颗骰子的点数为1”，记事件$B$为“第二颗骰子的点数为4”。则显然$A$与$B$的发生是互相不影响的。

  另外，从概率的角度看，事件$A$的条件概率$P(A|B)$与无条件概率$P(A)$的差别在于：事件$B$的发生改变了事件$A$的概率，也即事件$B$对事件$A$有某种”影响“。如果事件$A$与$B$的发生是互相不影响的，则有$P(A|B)=P(A)$和$P(B|A)=P(B)$，他们都等价于
$$P(AB)=P(A)P(B)$$
定义1 如果上述等式成立，则称事件$A$与$B$相互独立，简称$A$与$B$独立。否则称$A$与$B$不独立或相依。

性质1 若事件$A$与$B$独立，则$A$与$\overline{B}$独立，$\overline{A}$与$B$独立，$\overline{A}$与$\overline{B}$独立。

证明如下：

由概率的性质知
$$P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)$$
又由$A$与$B$的独立性可知
$$P(AB)=P(A)P(B)$$
所以
$$P(A\overline{B})=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(\overline{B})$$
这表明$A$与$\overline{B}$独立。类似可证$\overline{A}$与$B$独立，$\overline{A}$与$\overline{B}$独立。

1.5.2 多个事件的相互独立性

定义2 设$A,B,C$是三个事件，如果有
$$\{\begin{array}{l}P(AB)=P(A)P(B)\\ P(AC)=P(A)P(C)\\ P(BC)=P(B)P(C)\end{array}$$
则称$A,B,C$两两独立，若还有
$$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$$
则称$A,B,C$相互独立。多个事件的定义依次往后类推。

1.5.3 试验的独立性

定义3 设有两个试验$E_1$和$E_2$，假如试验$E_1$的任一结果（事件）与试验$E_2$的任一结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立。

  例如，掷一枚硬币（试验$E_1$）与掷一颗骰子（试验$E_2$）是相互独立的试验。

  类似地可以定义$n$个试验$E_1,E_2,...,E_n$的相互独立性：如果$E_1$的任一结果、$E_2$的任一结果、$......$、$E_n$的任一结果都是相互独立的事件，则称试验$E_1,E_2,...,E_n$相互独立。如果这$n$个独立试验还是相同的，则称其为n重独立重复试验。如果在$n$重独立重复试验中，每次试验的可能结果为两个：$A$或$\overline{A}$，则称这种试验为n重伯努利(Bernoulli)试验。
  例如，掷$n$枚硬币、掷$n$颗骰子、检查$n$个产品等，都是$n$重独立重复试验。