概率论与数理统计---全概率、贝叶斯公式、事件独立性

全概率与贝叶斯公式

全概率

之前有说过全概率,某件事A可能会在不同的情况下有不同的概率发生,这些情况相互独立,讲这些概率加和即为全概率。

例如:
高数挂科(10%)的前提下,概率挂科的概率为60%;
高数不挂科(90%)的前提下,概率挂科的概率为5%;
则概率挂科的全概率为:10% * 60% + 90% * 5%
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总结:全概率公式为: P ( A ) = ∑ i = 1 n P ( B i ) ∗ P ( A ∣ B i ) P(A) = \sum_{i=1}^nP(B_i) * P(A|B_i) P(A)=i=1nP(Bi)P(ABi)

贝叶斯公式

与全概率公式相反的就是贝叶斯公式
用来求一件事发生之后是属于某种情况的概率,本质上是一个条件概率
P ( B i ∣ A ) = P ( A B i ) P ( A ) = P ( B i ) P ( A ∣ B i ) ∑ i = 1 n P ( B i ) ∗ P ( A ∣ B i ) P(B_i|A) = \frac{P(AB_i)}{P(A)} = \frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{i=1}^nP(B_i) * P(A|B_i)} P(BiA)=P(A)P(ABi)=i=1nP(Bi)P(ABi)P(Bi)P(ABi)

例题

解题步骤:

  1. 用符号设出概率
  2. 求全概率
  3. 利用贝叶斯公式求条件概率

基础例题1
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基础例题2
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事件独立性

定义

某个事件是否收到其他事件的影响称为事件的独立性。
定义式: P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB) = P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)

结论

  1. 下面这些命题是等价的

    • 如果AB两个事件独立
    • P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB) = P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)
    • P ( B ) = P ( B ∣ A ) , P ( A ) > 0 P(B) = P(B|A) ,P(A) > 0 P(B)=P(BA),P(A)>0
    • P ( B ∣ A ) = P ( B ∣ A ˉ ) , P ( A ) ≠ 0 , P ( A ) ≠ 1 P(B|A) = P(B|\bar A),P(A)\not=0,P(A)\not=1 P(BA)=P(BAˉ),P(A)=0,P(A)=1
    • P ( A ∣ B ) = P ( A ∣ B ˉ ) , P ( B ) ≠ 0 , P ( B ) ≠ 1 P(A|B) = P(A|\bar B),P(B)\not=0,P(B)\not=1 P(AB)=P(ABˉ),P(B)=0,P(B)=1
  2. 如果A与B相互独立
    那么 A 与 B ˉ A与\bar B ABˉ A ˉ 与 B \bar A与B AˉB A ˉ 与 B ˉ \bar A与\bar B AˉBˉ都相互独立

  3. 如果 P ( A ) > 0 , P ( B ) > 0 P(A)>0,P(B)>0 P(A)>0,P(B)>0
    那么A与B相互独立,A与B互不相容不能同时成立

    • 相互独立指两个事件不共用一个样本空间
    • 互不相容指在同一个样本空间中两件事不能同时发生
  4. 必然事件、不可能事件与任何事件都相互独立

例题

基础例题
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