条件概率与事件的独立性

条件概率与事件的独立性

一、条件概率

1. 定义：设A,B为任意两个事件，且P(B)>0，则称
   
   为事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。
2. 条件概率满足概率的所有性质，如：
   
   
   p(φ|B)=0, p(Ω|B)=1
3. P(AB)与P(A|B)的区别与联系：
   联系：
   两个都是在A,B发生情况下计算概率。
   区别：
   (1) P(AB) 表示A,B同时发生的概率；P(A|B) 表示在B发生条件下A发生的概率，事件A,B的发生有先后次序。
   (2) P(AB) 的样本空间是 ，P(A|B)的样本空间是B。
   
   

二、概率的乘法公式

• 定义：设A,B为任意两个事件，若P(A)>0, P(B)>0，则有 $$称该式为概率的乘法公式。
• 推广：设A1,A2,…，An为任意n个事件，且 $p(A_1A_2\cdot\cdot\cdot A_{n-1})>0$,则有 $P(A_1A_2\cdot\cdot\cdot A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdot\cdot\cdot P(A_n|A_1A_2\cdot\cdot\cdot A_{n-1})$

三、事件的独立性

• 定义：设A,B为随机试验E的任意两个事件,若满足： $$ 则称事件A,B相互独立，简称独立。
• 必然事件及不可能事件与任意事件A相互独立。
• 前提：A和B独立。若P(B)>0，则P(A|B)=P(A).
  
• 证明：如果P(A)=0或者P(A)=1，则A与任何事件独立
• A,B独立不同于A,B互斥、对立的概念。
• A,B独立与A,B互不影响之间的关系。
  
• 性质：定理:设A,B为任意两个事件,则 $A,B;A,\bar{B};\bar{A},B;\bar{A},\bar{B}$ 四组事件的独立性等价。
• 事件A，B独立等价于：
  
• 推广：
  
• 另外：
• 
• n个事件A1,A2,…,An独立，则部分用其对立事件替换，所得新的n个事件仍然相互独立。
• 独立事件概率的计算：
  $P(A_1A_2\dots A_n) =\displaystyle\prod_1^nP(A_i)$
  $P(A_1+A_2+\dots+A_n) = 1-\displaystyle\prod_1^nP(\bar{A_i})$

四、全概率公式

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