单连通区域:
闭围道包围的区域里被积函数处处解析(不存在奇点)那么积分是0,
多连通区域:
闭围道包围的区域里有奇点存在,积分不一定是0,当然也有0的,比方 f(z)= (z-z0)^n-1 在n= +-1, +-2.... 是围道 |z-z0|=R时积分就是0
n取 -1时f(z)=1/ (z-z0) z0是被积函数的奇点,而且奇点包围在围道构成的区域里,积分是0
对 f(z)=1/z ,z=0是奇点, 对任意|Z|=R 的轨道,由于包含奇点,所以积分是相同的,如果去z=re(i*theta) +z0 ,并且控制半径r使包围的区域不含原点,那么积分是0
一些函数的讨论:
对应 f(z)=z^1/2 从-3到3的积分,选择如图(3)轨道
clc clear syms x y theta b=5; z_c1=-3+y*i; %0,b z_c2=x+b*i; %-3,3 z_c3_=3+y*i; %0,b c1= int( z_c1^(0.5) * diff(z_c1,y),y,0,b); c2= int( z_c2^(0.5) * diff(z_c2,x),x,-3,3); c3= -int( z_c3_^(0.5) * diff(z_c3_,y),y,0,b); b c=c1+c2+c3 dc= double(c) z_r=3*exp(i*theta); c=int(z_r^(0.5)*diff(z_r,theta),theta,0,2*pi) cc=double(c) double(-4*i*sqrt(3))
clc clear syms x y b=-14; %b<0 z_c1_=-3+y*i; %b,0 z_c2=x+b*i; %-3,3 z_c3=3+y*i; %b,0 c1= -int( z_c1_^(0.5) * diff(z_c1_,y),y,b,0); c2= int( z_c2^(0.5) * diff(z_c2,x),x,-3,3); c3= int( z_c3^(0.5) * diff(z_c3,y),y,b,0); b c=c1+c2+c3 dc= double(c)
上两段代码结论:改变b的取值,积分不变。
clc clear syms x y theta r=3; %r>0 z_c=r*exp(i*theta); c=int( (z_c)^(0.5) * diff(z_c,theta),theta,0,2*pi) double(c)
采用圆形轨道-正方向,r=3时结果跟上面一样,当r取其他值时,积分不一样,表明不同r构成的环形区域里z^(1/2)不解析--有奇点。